Question

（2012•桂林）如圖，等圓⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，⊙O₁經過⊙O₂的圓心，順次連接A、O₁、B、O₂．
（1）求證：四邊形AO₁BO₂是菱形；
（2）過直徑AC的端點C作⊙O₁的切線CE交AB的延長線于E，連接CO₂交AE于D，求證：CE=2O₂D；
（3）在（2）的條件下，若△AO₂D的面積為1，求△BO₂D的面積．

Answer 1

分析：（1）根據⊙O₁與⊙O₂是等圓，可得AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，利用四條邊都相等的四邊形是菱形可判定出結論；
（2）根據已知得出△ACE∽△AO₂D，進而得出

DO2

EC

=

AO2

AC

=

1

2

，即可得出答案；
（3）首先證明△ACD∽△BO₂D，得出

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面積關系得出答案即可．

解答：證明：（1）∵⊙O₁與⊙O₂是等圓，
∴AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，
∴四邊形AO₁BO₂是菱形；

（2）∵四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴∠O₁AB=∠O₂AB，
∵CE是⊙O₁的切線，AC是⊙O₁的直徑，
∴∠ACE=∠AO₂C=90°，
∴△ACE∽△AO₂D，

DO2

EC

=

AO2

AC

=

1

2

，
即CE=2DO₂；

（3）∵四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴AC∥BO₂
∴△ACD∽△BO₂D，
∴

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，
∴AD=2BD，
∵S△AO2D=1，
∴S△O2DB=

1

2

，

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及三角形面積關系和菱形判定等知識，熟練利用相似三角形的判定得出△ACE∽△AO₂D是解題關鍵．