【題目】如圖1,在中,,,把一塊含角的三角板的直角頂點放在的中點上(直角三角板的短直角邊為,長直角邊為),點在上,點在上.
(1)求重疊部分的面積;
(2)如圖2,將直角三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30度,交于點,交于點.
①請說明:;
②在此條件下,與直角三角板重疊部分的面積會發(fā)生變化嗎?請說明理由,并求出重疊部分的面積.
(3)如圖3,將直角三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)度(),交于點,交于點,則的結(jié)論仍成立嗎?重疊部分的面積會變嗎?(請直接寫出結(jié)論,不需要說明理由)
【答案】(1)S△BCD=;(2)①證明見解析;②重疊部分的面積不變?yōu)?/span>;(3)DM=DN的結(jié)論仍成立,重疊部分面積不會變.
【解析】
(1)重疊部分△BCD是一個等腰直角三角形,求出其直角邊,即可求解;
(2)①連接BD,先證得BD=CD,∠C=∠NBD=45°,進而求出△CDM≌△BDN,即可得到DM=DN;②利用①中的結(jié)論△CDM≌△BDN即可得出答案;
(3)證明過程類似(2),根據(jù)(2)中的結(jié)論,可以直接寫出.
解:(1)∵AB=BC,AC=2,D是AC的中點,∠ABC=90°,
∴∠BCD=∠A=∠CBD=45°,BD⊥AC.
∴CD=BD=AC=1.
∴S△BCD=CD·BD=×1×1=.
(2)①連接BD,
∵AB=BC,D是AC的中點,∠ABC=90°,
∴∠C=∠A=∠CBD=∠ABD=45°,
∴BD=CD,∠C=∠NBD=45°,
又∵直角三角板DEF繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30度,
∴∠CDM=∠BDN=30°,
∴△CDM≌△BDN(ASA).
∴DM=DN.
②由①知△CDM≌△BDN,
∴S四邊形BNDM=S△BCD=,
即此條件下重疊部分的面積不變?yōu)?/span>.
(3)DM=DN的結(jié)論仍成立,重疊部分面積不會變.(證明過程類似(2))
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料并完成任務(wù):
中國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽最早對勾股定理作出理論證明.他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”(如圖l),用數(shù)形結(jié)合的方法,給出了勾股定理的詳細證明.在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的.每個直角三角形的面積為;中間的小正方形邊長為,面積為.于是便得到式子:.趙爽的這個證明可謂別具匠心,極富創(chuàng)新意識.他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,既具嚴密性,又具直觀性,為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范.如圖2,是“趙爽弦圖”,其中、、和是四個全等的直角三角形,四邊形和都是正方形,根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系,可以證明勾股定理.設(shè),,,取,.
任務(wù):
(1)填空:正方形的面積為______,四個直角三角形的面積和為______;
(2)求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(x1,0)與(x2,0),其中x1<x2,方程ax2+bx+c-a=0的兩根為m,n(m<n),則下列判斷正確的是( )
A. m<n<x1<x2 B. m<x1<x2<n C. x1+x2>m+n D. b2-4ac≥0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位要制作一批宣傳材料.甲公司提出:每份材料收費1元,另收取制版費600元;乙公司提出:每份材料收費1.2元,不收取制版費.
(1)設(shè)制作份宣傳材料,甲公司收費元,乙公司收費元,請分別寫出,與的關(guān)系式;
(2)該單位要制作宣傳材料1000~4500(含1000和4500)份,選擇哪家公司比較合算?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上有三個點A、B、C,完成系列問題:
(1)將點B向右移動六個單位長度到點D,在數(shù)軸上表示出點D.
(2)在數(shù)軸上找到點E,使點E到A、C兩點的距離相等.并在數(shù)軸上標出點E表示的數(shù).
(3)在數(shù)軸上有一點F,滿足點F到點A與點F到點C的距離和是9,則點F表示的數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)從學(xué)生入學(xué)開始就積極開展環(huán)保教育,半學(xué)期后隨機對部分學(xué)生的環(huán)保習(xí)慣養(yǎng)成情況進行了問卷調(diào)查,問卷中的環(huán)保習(xí)慣有:①隨手關(guān)燈;②充電后及時拔充電器插頭;③生活用水合理重復(fù)利用;④不用或少用一次性餐具;⑤少用塑料袋多用環(huán)保袋;⑥綠色出行,同學(xué)勾選出自己已經(jīng)養(yǎng)成的環(huán)保習(xí)慣,學(xué)校將結(jié)果繪成了如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.
(1)求在這次調(diào)查中,一共抽查了多少名學(xué)生?
(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖.
(3)已知全校共有學(xué)生1200人,請估計全校所有學(xué)生中已經(jīng)養(yǎng)成3個或3個以上環(huán)保習(xí)慣的同學(xué)共有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場購進甲、乙兩種商品,甲種商品共用了2000元,乙種商品共用了2400元已知乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多8元,且購進的甲、乙兩種商品件數(shù)相同.
求甲、乙兩種商品的每件進價;
該商場將購進的甲、乙兩種商品進行銷售,甲種商品的銷售單價為60元,乙種商品的銷售單價為88元,銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好,商場決定:甲種商品銷售一定數(shù)量后,將剩余的甲種商品按原銷售單價的七折銷售;乙種商品銷售單價保持不變要使兩種商品全部售完后共獲利不少于2460元,問甲種商品按原銷售單價至少銷售多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=2,BC=6,點E從點D出發(fā),沿DA方向以每秒1個單位的速度向點A運動,點F從點B出發(fā),沿射線AB以每秒3個單位的速度運動,當點E運動到點A時,E、F兩點停止運動.連接BD,過點E作EH⊥BD,垂足為H,連接EF,交BD于點G,交BC于點M,連接CF. 給出下列結(jié)論:①△CDE∽△CBF;②∠DBC=∠EFC;③ ;④GH的值為定值;上述結(jié)論中正確的個數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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