Question

如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

證明：（1）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．
∴EH=GF．
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四邊形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．
∴GH=EF．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）解法一：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
設∠A=α，則∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．
∴∠DHG=∠DGH=．
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是矩形．

解法二：連接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴，∴HE∥BD，
同理可證，GH∥AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是矩形．
分析：（1）易證得△AEH≌△CGF，從而證得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證．
（2）由題意知，平行四邊形ABCD是菱形，連接AC，BD，則有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可證得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四邊形HGFE是平行四邊形，故四邊形HGFE是矩形．
點評：本題利用了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，矩形的判定求解．