Question

（2006•常德）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（，0），B（-，0），以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B，C，與y軸相交于點(diǎn)D，E．
（1）若拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)C，D兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)B是否在該拋物線上；
（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使得△PBD的周長(zhǎng)最�。�
（3）設(shè)Q為（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A（，0），B（-，0）可求圓半徑是2，連接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=x²+bx+c，可求拋物線解析式，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（2）由（1）知，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接CD，交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn)，P點(diǎn)即為所求，先求直線CD的解析式，已知P點(diǎn)橫坐標(biāo)x=，代入直線CD的解析式即可求P；
（3）∵BC=4，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)是，M在Q點(diǎn)左邊，則M點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4=-3，代入拋物線解析式可求M點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵OA=，AB=AC=2，
∴B（-，0），C（3，0），連接AD，
在Rt△AOD中，AD=2，OA=，
∴OD==3，
∴D的坐標(biāo)為（0，-3），（3分）
又∵D，C兩點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-3，（5分）
當(dāng)x=-時(shí)，y=0，
∴點(diǎn)B（-，0）在拋物線上，（6分）

（2）∵y=x²-x-3，
=（x-）²-4，
∴拋物線y=x²-x-3的對(duì)稱軸方程為x=，（7分）
在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△PBD的周長(zhǎng)最�。�
∵BD的長(zhǎng)為定值∴要使△PBD周長(zhǎng)最小只需PB+PD最小．
連接DC，則DC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使△PBD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)．
設(shè)直線DC的解析式為y=mx+n．
由，
得，
∴直線DC的解析式為y=x-3．
由，
得，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（9分）

（3）存在，設(shè)Q（，t）為拋物線對(duì)稱軸x=上一點(diǎn)，
M在拋物線上要使四邊形BCQM為平行四邊形，
則BC∥QM且BC=QM，點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)．
于是，過(guò)點(diǎn)Q作直線L∥BC與拋物線交于點(diǎn)M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4，
從而x_m=-3，t=12，
另外：M在拋物線的頂點(diǎn)上也可以構(gòu)造平行四邊形！
故在拋物線上存在點(diǎn)M（-3，12）或（5，12）或（，-4），使得四邊形BCQM為平行四邊形．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)解析式的求法，要求會(huì)在坐標(biāo)系中求線段和最小的問(wèn)題以及探求平行四邊形的條件．