【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線yax2+bx+c經(jīng)過A(﹣6,0)、B(2,0)、C(0,6)三點,其頂點為D,連接AD,點P是線段AD上一個動點(不與AD重合),過點Py軸的垂線,垂足為點E,連接AE

(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點D的坐標;

(2)如果點P的坐標為(x,y),PAE的面積為S,求Sx之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;

(3)過點P(﹣3,m)作x軸的垂線,垂足為點F,連接EF,把PEF沿直線EF折疊,點P的對應(yīng)點為點P,求出P的坐標.(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)拋物線解析式為:y=-x2﹣2x+6,拋物線的頂點D(﹣2,8);(2)9;(3)P′().

【解析】

1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點,則代入求得a,b,c,進而得解析式與頂點D.
(2)由PAD上,則可求AD解析式表示P點.由SAPE=PEyP,所以S可表示,進而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值.

(3)求出點P,過點P′P′My軸于點M,再根據(jù)相關(guān)條件解答即可.

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(﹣6,0),B(2,0),C(0,6)三點,

,解得:

∴拋物線解析式為:y=x2﹣2x+6,

,,

∴拋物線的頂點D(﹣2,8);

(2)A(﹣6,0),D(﹣2,8),

∴設(shè)AD的解析式y=2x+12,

∵點PAD上,

P(x,2x+12),

SAPE=PEyP=×(﹣x)(2x+12)=﹣x2﹣6x,

x=-3時,S最大=9;

(3)P′().

PAD上,

∴當﹣3時,y=2×(﹣3)+12=6,

∴點P(﹣3,6),

PF=6,PE=3,

過點P′P′My軸于點M,

∵△PEF沿EF翻折得P′EF,

∴∠PFE=P′FE,PF=P′F=6,PE=P′E=3,

PFy軸,

∴∠PFE=FEN,

∵∠PFE=P′FE,

∴∠FEN=P′FE,

EN=FN,

設(shè)EN=a,則FN=a,P′N=6﹣a,

RtP′EN中,P′N2+P′E2=EN2,即(6﹣a)2+32=a2,解得:a=,

SP′EN=P′NP′E=ENP′M,

P′M=,

RtEMP′中,EM=,

OM=EO﹣EM=6﹣

P′(,).

練習冊系列答案
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(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

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A. OB≤OC B. OB<OC C. OB≥OC D. OB>OC

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