Question

如圖，正方形ABCD中，∠EDF=45°，且∠EDF的兩邊分別與AB，BC交于E，F(xiàn)．試探究AE，EF，CF三條線段之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：延長BA至G，使AG=CF，連接DG，利用旋轉(zhuǎn)法證明△ADG≌△CDF，然后證明△DGE≌△DFE再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EF=AE+FC．

解答：解：EF=AE+FC．
理由：如圖所示：延長BA至G，使AG=CF，連接DG，
∵在△ADG和△CDF中，

AD=CD ∠DAG=∠C=90° AG=CF

∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴DG=DF，∠ADG=∠CDF，
又∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，
∴∠DAE+∠CDF=∠ADG+∠DAE=∠GDE=45°，
∴∠GDE=∠EDF，
在△DGE和△DFE中，

DG=DF ∠GDE=∠EDF DE=DE

，
∴△DGE≌△DFE（SAS），
∴GE=EF，
又∵AG=CF，
∴EF=AE+FC．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確找出圖形中相等的角以及相等的線段，正確作出輔助線是關鍵．