Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y＝（a≠0）的圖象在第一象限交于A、B兩點，A點的坐標為（m，4），B點的坐標為（3，2），連接OA、OB，過B作BD⊥y軸，垂足為D，交OA于C．若OC＝CA，

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（2）求△AOB的面積；

（3）在直線BD上是否存在一點E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝，y＝﹣x+6；（2）．（3）E坐標為（﹣，2）或（，2）或（，2）或（，2）．

【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進而確定出點A的坐標，再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）過點A作AF⊥x軸于F交OB于G，先求出OB的解析式，進而求出AG，用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
（3）分三種情形分別討論求解即可解決問題；

解：（1）∵點B（3，2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，

∴a＝3×2＝6，

∴反比例函數(shù)的表達式為y＝，

∵點A的縱坐標為4，

∵點A在反比例函數(shù)y＝圖象上，

∴A（，4），

∴，∴，

∴一次函數(shù)的表達式為y＝﹣x+6；

（2）如圖1，過點A作AF⊥x軸于F交OB于G，

∵B（3，2），

∴直線OB的解析式為y＝x，

∴G（，1），

A（，4），

∴AG＝4﹣1＝3，

∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝×3×3＝．

（3）如圖2中，

當∠AOE1＝90°時，∵直線AC的解析式為y＝x，

∴直線OE1的解析式為y＝﹣x，

當y＝2時，x＝﹣，

∴E1（﹣，2）．

當∠OAE2＝90°時，

直線OE1平行直線OE2

設直線OE2的解析式為y＝﹣x+b，

∴直線過點A（，4），則b=

∴直線OE2的解析式為y＝﹣x+，

當y＝2時，x＝，

∴E2（，2）．

當∠OEA＝90°時，

∵A（，4），∴OA=

∴AC＝OC＝CE＝，

∵C（，2），

∴可得E3（，2），E4（，2），

綜上所述，滿足條件的點E坐標為（﹣，2）或（，2）或（，2）或（，2）．