Question

某超市計劃上兩個新項目：
項目一：銷售A種商品，所獲得利潤y（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：y=kx．當投資5萬元時，可獲得利潤2萬元；
項目二：銷售B種商品，所獲得利潤y（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：y=ax²+bx．當投資4萬元時，可獲得利潤3.2萬元；當投資2萬元時，可獲得利潤2.4萬元．
（1）請分別求出上述的正比例函數(shù)表達式和二次函數(shù)表達式；
（2）如果超市同時對A、B兩種商品共投資12萬元，請你設計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案獲得的最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）∵銷售A種商品，所獲得利潤y（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：y=kx．
當投資5萬元時，可獲得利潤2萬元；
∴y_A=0.4x；
∵銷售B種商品，所獲得利潤y（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：y=ax²+bx．
當投資4萬元時，可獲得利潤3.2萬元；
當投資2萬元時，可獲得利潤2.4萬元．
∴，
∴a=-0.2，b=1.6，
∴y_B=-0.2x²+1.6x；
（2）設投資B種商品x萬元，
則投資A種商品（12-x）萬元．
W=-0.2x²+1.6x+0.4（12-x）
=-0.2（x-3）²+6.6．
∴當x=3時，W取最大值，
∴投資A、B兩種商品分別為9、3萬元可獲得最大利潤6.6萬元．
分析：（1）首先利用已知條件和待定系數(shù)法可以分別求出正比例函數(shù)表達式和二次函數(shù)表達式；
（2）設投資B種商品x萬元，則投資A種商品（12-x）萬元，然后根據(jù)已知條件可以列出利潤W關(guān)于x的二次函數(shù)，接著利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出獲得最大利潤的投資方案．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是正確把握題目的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)關(guān)系式即可解決問題．