Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′．當(dāng)CA′的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為（ ）

A.5
B.7
C.8
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：作CH⊥AB于H，如圖，
∵菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴CH= AB=4 ，AH=BH=4，
∵PB=3，
∴HP=1，
在Rt△CHP中，CP= =7，
∵梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，
∴點(diǎn)A′在以P點(diǎn)為圓心，PA為半徑的弧上，
∴當(dāng)點(diǎn)A′在PC上時(shí)，CA′的值最小，
∴∠APQ=∠CPQ，
而CD∥AB，
∴∠APQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP=7．
故選B．

本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了折疊的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是確定A′在PC上時(shí)CA′的長(zhǎng)度最�。�作CH⊥AB于H，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷△ABC為等邊三角形，則CH= AB=4 ，AH=BH=4，再利用勾股定理計(jì)算出CP=7，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)A′在以P點(diǎn)為圓心，PA為半徑的弧上，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)A′在PC上時(shí)，CA′的值最小，然后證明CQ=CP即可．