Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．
（1）證明：直線DE是⊙O的切線；
（2）若DE=$\sqrt{3}$，∠B=30°，過點D作DG⊥BA，交⊙O于點G，垂足為F，求圖中由弦DG，劣弧DG圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠B=∠C=30°，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)求得DE=$\sqrt{3}$
CD=2$\sqrt{3}$，進而求得BD=DC=2$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理求得AB，即可求得半徑，根據(jù)∠DBO=∠BDO=30°，得出∠DOF=60°，然后根據(jù)S=S_扇形ODG-S_△ODG求得即可．

解答 （1）證明：連接OD；
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
在RT△CDE中，DE=$\sqrt{3}$
∴CD=2$\sqrt{3}$，
連接AD，∵AB是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴點D是BC的中點，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
在RT△ABD中，設(shè)AD=x，AB=2x，由勾股定理得，AB²=AD²+BD²  （2x）²=x²+（2$\sqrt{3}$^）2
解得x=2，
∴AB=4，半徑OA=2，
∵∠DBO=∠BDO=30°，
∴∠DOF=60°，
又∵DG⊥BA，∠ODF=30°，
∴OF=1，DF=$\sqrt{3}$，DG=2$\sqrt{3}$，
連接OG，OD=OG，∠DOG=120°，
所求面積S=S_扇形ODG-S_△ODG=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，直角三角函數(shù)以及扇形的面積等．找出輔助線構(gòu)建直角三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．