如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為,它的頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng),且BC∥x軸,點(diǎn)A在BC的上方.
(1)當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)重合時(shí),頂點(diǎn)C是否在該拋物線上?請(qǐng)說明理由.
(2)△ABC在運(yùn)動(dòng)過程中被x軸分成兩個(gè)部分,若上下兩部分的面積之比為1:8(即S上部分:S下部分=1:8),求頂點(diǎn)A的坐標(biāo).
(3)△ABC在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)頂點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上時(shí),求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),求出當(dāng)點(diǎn)A與原點(diǎn)重合時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo),再將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式就可以判斷點(diǎn)C是否在拋物線上.
(2)由于在移動(dòng)的過程中在x軸上方的三角形始終與原三角形相似,當(dāng)上下兩部分的面積之比為1:8時(shí),則上部分的面積與三角形的面積之比為1:9,利用相似三角形的性質(zhì)可以求出其頂點(diǎn)坐標(biāo).
(3)由題意可知三角形在移動(dòng)中點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上有三種情況,根據(jù)三種不同的位置情況和等邊三角形的性質(zhì)利用等邊三角形變的長(zhǎng)度求出B點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)當(dāng)點(diǎn)A與原點(diǎn)重合時(shí),根據(jù)等邊三角形的得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,-3)
當(dāng)x=時(shí),代入拋物線的解析式得:y=-3
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式
∴點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)C是在該拋物線上.

(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),y>0,△ABC與軸相交于點(diǎn)M、N
∵S△AMN:S四邊形BCNM=1:8
∴S△AMN:S△ABC=1:9
∵BC∥x軸
∴△AMN∽△ABC

∴y=1
∵點(diǎn)A在拋物線上

解得:
∴A的坐標(biāo)為:(,1),(,1)

(3)第一種情況:點(diǎn)B落在X軸上,即BC與x軸重合
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3,代入解析式求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo):

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為:
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為:(2+,0),2-,0)
第二種情況:點(diǎn)B在y軸上,由圖得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為:x=,將其代入拋物線的解析式為
y=3-6=-3
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-6,橫坐標(biāo)為:2
∴C(2,-6)
綜上所述,點(diǎn)C的坐標(biāo)為:
(2+,0),2-,0),(2,-6)

點(diǎn)評(píng):本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了等邊三角形與拋物線的關(guān)系,運(yùn)用了等邊三角形的性質(zhì),相似三角形的判定及性質(zhì).
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=
3
x
(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在x軸上.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求直線AB的函數(shù)表示式;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使△OAP是等腰三角形?若存在,直接把符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)都寫出來;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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如圖,等邊三角形ABC中,D、E分別為AB、BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn),且總使AD=BE,AE與CD交于點(diǎn)F,AG⊥CD于點(diǎn)G,則
FG
AF
=( 。

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已知:如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且AD=AE=2.若點(diǎn)F從點(diǎn)B開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.當(dāng)t>0時(shí),直線FD與過點(diǎn)A且平行于BC的直線相交于點(diǎn)G,GE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,AB與GH相交于點(diǎn)O.
(1)設(shè)△EGA的面積為S,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),AB⊥GH.

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如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,若D、E、F、G分別為AB、AC、CD、BF的中點(diǎn),則△BEG的面積是( 。

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已知:如圖,在等邊三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各邊的中點(diǎn),AE,BF,CD分別交于P,M,N在每一組全等三角形中,有三個(gè)三角形全等,在圖中全等三角形的組數(shù)是

[    ]

A.5   B.4    C.3   D.2

 

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