【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于 A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC.點(diǎn)D在函數(shù)圖象上,CD∥x軸,且CD=2,直線l是拋物線的對(duì)稱軸,E是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求b、c的值;
(2)如圖①,連接BE,線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F'恰好在線段BE上,求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)如圖②,動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M,與拋物線交于點(diǎn)N.試問(wèn):拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得△PQN與△APM的面積相等,且線段NQ的長(zhǎng)度最。咳绻嬖,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)c=﹣3;(2)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,﹣2);(3)存在點(diǎn)Q滿足題意.存在滿足題意的點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為(,)或(,).
【解析】分析:(1)由條件可求得拋物線對(duì)稱軸,則可求得b的值;由OB=OC,可用c表示出B點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得c的值;
(2)可設(shè)F則可表示出F′的坐標(biāo),由B、E的坐標(biāo)可求得直線BE的解析式,把F′坐標(biāo)代入直線BE解析式可得到關(guān)于m的方程,可求得F點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,可表示出PA、PB、PN的長(zhǎng),作 垂足為R,則可求得QR的長(zhǎng),用n可表示出Q、R、N的坐標(biāo),在中,由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)n的值,則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo),
詳解:(1)∵CD∥x軸,CD=2,
∴拋物線對(duì)稱軸為x=1.
∴
∵OB=OC,
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴ 解得或 (舍去),
∴
(2)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為
∵對(duì)稱軸為直線x=1,
∴點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為
由(1)可知拋物線解析式為
∴
∵直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)
∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為
∵點(diǎn)在BE上,
∴ 即點(diǎn)F的坐標(biāo)為
(3)存在點(diǎn)Q滿足題意.
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,則
作 垂足為R,
∵
∴
∴
點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí),Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 R點(diǎn)的坐標(biāo)為N點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴在中,
∴時(shí),NQ取最小值1.此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí),Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
同理,
∴時(shí),NQ取最小值1.此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
綜上可知存在滿足題意的點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知雙曲線y=(k<0)經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OA的中點(diǎn)D,且與直角邊AB相交于點(diǎn)C.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,4),則△AOC的面積為( )
A. 12 B. 9 C. 6 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】撫順某中學(xué)為了解八年級(jí)學(xué)生的體能狀況,從八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試,測(cè)試結(jié)果分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求測(cè)試結(jié)果為C等級(jí)的學(xué)生數(shù),并補(bǔ)全條形圖;
(3)若該中學(xué)八年級(jí)共有700名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)八年級(jí)學(xué)生中體能測(cè)試結(jié)果為D等級(jí)的學(xué)生有多少名?
(4)若從體能為A等級(jí)的2名男生2名女生中隨機(jī)的抽取2名學(xué)生,做為該校培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)員的重點(diǎn)對(duì)象,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,點(diǎn)在對(duì)角線上,過(guò)點(diǎn)作,分別交,于點(diǎn),,連結(jié),.若,,圖中陰影部分的面積為,則矩形的周長(zhǎng)為_______.
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【題目】如圖,直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn),點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PC+PD最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D,且DA=DB=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=30°,則∠BDC的度數(shù)為( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形的邊分別在軸、軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為。點(diǎn)分別在邊上,。沿直線將翻折,點(diǎn)落在點(diǎn)處。則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________。
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【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn),ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)先將ABC向上平移4個(gè)單位后得到的A1B1C1,再將A1B1C1繞點(diǎn)C1按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后所得到的A2B2 C1,在圖中畫(huà)出A1B1C1和A2B2 C1.
(2)A2B2 C1能由ABC繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到,請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格上標(biāo)出點(diǎn)O.
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【題目】因式分解是數(shù)學(xué)解題的一種重要工具,掌握不同因式分解的方法對(duì)數(shù)學(xué)解題有著重要的意義.我們常見(jiàn)的因式分解方法有:提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等.在此,介紹一種方法叫“試根法”.例:,當(dāng)時(shí),整式的值為0,所以,多項(xiàng)式有因式,設(shè)
,展開(kāi)后可得,所以,根據(jù)上述引例,請(qǐng)你分解因式:
(1);
(2).
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