【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于 A、B兩點,與y軸交于點C,OB=OC.點D在函數(shù)圖象上,CDx軸,且CD=2,直線l是拋物線的對稱軸,E是拋物線的頂點.

(1)求b、c的值;

(2)如圖①,連接BE,線段OC上的點F關于直線l的對稱點F'恰好在線段BE上,求點F的坐標;

(3)如圖②,動點P在線段OB上,過點Px軸的垂線分別與BC交于點M,與拋物線交于點N.試問:拋物線上是否存在點Q,使得△PQN與△APM的面積相等,且線段NQ的長度最。咳绻嬖,求出點Q的坐標;如果不存在,說明理由.

【答案】(1)c=﹣3;(2)點F的坐標為(0,﹣2);(3)存在點Q滿足題意.存在滿足題意的點Q,其坐標為,,).

【解析】分析:(1)由條件可求得拋物線對稱軸,則可求得b的值;由OB=OC,可用c表示出B點坐標,代入拋物線解析式可求得c的值;
(2)可設F則可表示出F′的坐標,由BE的坐標可求得直線BE的解析式,把F坐標代入直線BE解析式可得到關于m的方程,可求得F點的坐標;
(3)設點P坐標為可表示出PA、PB、PN的長,作 垂足為R則可求得QR的長,用n可表示出QR、N的坐標,在中,由勾股定理可得到關于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質可知其取得最小值時n的值,則可求得Q點的坐標,

詳解:(1)CDx軸,CD=2,

∴拋物線對稱軸為x=1.

OB=OC

B點的坐標為

解得 (舍去),

(2)設點F的坐標為

∵對稱軸為直線x=1,

∴點F關于直線l的對稱點的坐標為

由(1)可知拋物線解析式為

∵直線BE經(jīng)過點

∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達式為

∵點BE上,

即點F的坐標為

(3)存在點Q滿足題意.

設點P坐標為,

垂足為R,

Q在直線PN的左側時,Q點的坐標為 R點的坐標為N點的坐標為

∴在中,

時,NQ取最小值1.此時Q點的坐標為

Q在直線PN的右側時,Q點的坐標為

同理,

時,NQ取最小值1.此時Q點的坐標為

綜上可知存在滿足題意的點Q,其坐標為

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,展開后可得,所以,根據(jù)上述引例,請你分解因式:

1

2.

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