Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0＜t≤4）．解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)PQ平行于BC；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似？
（3）是否存在某時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的周長(zhǎng)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）是否存在某時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）可求得BC=6，且PB=AQ=2t，AP=10-2t，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，可得

AP

AB

=

AQ

AC

，代入可得到關(guān)于t的方程，可求得t；
（2）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比相等，可得到關(guān)于t的方程，代入分別求得t即可；
（3）周長(zhǎng)相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ，代入可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（4）過(guò)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，則PD∥BC，則

PD

BC

=

AP

AB

，可用t表示出PD，進(jìn)一步可表示出其面積，令其為△ABC面積的一半即可，可求出t的值，注意結(jié)合t的取值范圍進(jìn)行取舍．

解答：解：∵∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，
∴BC=6cm，
∵P、Q的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，
∴PB=AQ=2t，則AP=10-2t，
（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，則

AP

AB

=

AQ

AC

，即

10-2t

10

=

2t

8

，解得t=

20

9

，
即當(dāng)

20

9

s時(shí)PQ∥BC；
（2）∵△ABC為直角三角形，
∴當(dāng)△APQ和△ABC相似時(shí)，必有一個(gè)角為直角，
當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，則PQ∥BC，由（1）可知t=

20

9

，
當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，則

AP

AC

=

AQ

AB

，即

10-2t

8

=

2t

10

，解得t=

25

9

，
∴當(dāng)t為

20

9

或

25

9

時(shí)△APQ和△ABC相似；
（3）不存在．理由如下：
當(dāng)線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的周長(zhǎng)平分時(shí)，則有AP+AQ=PB+BC+CQ，
即10-2t+2t=2t+6+8-2t，整理得10=14，顯然不成立，
∴不存在使PQ把△ABC周長(zhǎng)平分的t；
（4）存在．
如圖，過(guò)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，則PD∥BC，

∴

PD

BC

=

AP

AB

，即

PD

6

=

10-2t

10

，解得PD=

30-2t

5

，
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PD=

1

2

×2t×

30-2t

5

=

30t-2t2

5

，
且S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24，
當(dāng)線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的面積平分時(shí)，則有S_△APQ=

1

2

S_△ABC，
即

30t-2t2

5

=12，整理可得t²-15t+30=0，
解得t=

15+5 5

2

＞4（舍去）或t=

15-5 5

2

，
∴當(dāng)t=

15-5 5

2

時(shí)，線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的面積平分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用時(shí)間和速度表示出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，結(jié)合條件得到關(guān)于t的方程是解決這類(lèi)問(wèn)題的解題思路，即化動(dòng)為靜．在（2）中注意只有相似但沒(méi)有對(duì)應(yīng)需要分情況討論．