Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0＜t≤4）．解答下列問題：
（1）當t為何值時PQ平行于BC；
（2）當t為何值時，△APQ與△ABC相似？
（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的周長平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（4）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）可求得BC=6，且PB=AQ=2t，AP=10-2t，當PQ∥BC時，可得

AP

AB

=

AQ

AC

，代入可得到關于t的方程，可求得t；
（2）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到對應線段的比相等，可得到關于t的方程，代入分別求得t即可；
（3）周長相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ，代入可得到關于t的方程，可求得t的值；
（4）過P作PD⊥AC于點D，則PD∥BC，則

PD

BC

=

AP

AB

，可用t表示出PD，進一步可表示出其面積，令其為△ABC面積的一半即可，可求出t的值，注意結合t的取值范圍進行取舍．

解答：解：∵∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，
∴BC=6cm，
∵P、Q的運動速度為2cm/s，
∴PB=AQ=2t，則AP=10-2t，
（1）當PQ∥BC時，則

AP

AB

=

AQ

AC

，即

10-2t

10

=

2t

8

，解得t=

20

9

，
即當

20

9

s時PQ∥BC；
（2）∵△ABC為直角三角形，
∴當△APQ和△ABC相似時，必有一個角為直角，
當∠AQP=90°時，則PQ∥BC，由（1）可知t=

20

9

，
當∠APQ=90°時，則

AP

AC

=

AQ

AB

，即

10-2t

8

=

2t

10

，解得t=

25

9

，
∴當t為

20

9

或

25

9

時△APQ和△ABC相似；
（3）不存在．理由如下：
當線段PQ恰好把△ABC的周長平分時，則有AP+AQ=PB+BC+CQ，
即10-2t+2t=2t+6+8-2t，整理得10=14，顯然不成立，
∴不存在使PQ把△ABC周長平分的t；
（4）存在．
如圖，過P作PD⊥AC于點D，則PD∥BC，

∴

PD

BC

=

AP

AB

，即

PD

6

=

10-2t

10

，解得PD=

30-2t

5

，
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PD=

1

2

×2t×

30-2t

5

=

30t-2t2

5

，
且S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24，
當線段PQ恰好把△ABC的面積平分時，則有S_△APQ=

1

2

S_△ABC，
即

30t-2t2

5

=12，整理可得t²-15t+30=0，
解得t=

15+5 5

2

＞4（舍去）或t=

15-5 5

2

，
∴當t=

15-5 5

2

時，線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．利用時間和速度表示出線段的長度，結合條件得到關于t的方程是解決這類問題的解題思路，即化動為靜．在（2）中注意只有相似但沒有對應需要分情況討論．