Question

已知正比例函數(shù)y₁=2x和一次函數(shù)y₂=-x+b，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)P．
（1）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，n），試求一次函數(shù)的表達(dá)式，并用圖象法求y₁≥y₂的解；
（2）若S_△AOP=3，試求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）x軸上有一定點(diǎn)E（2，0），若△POB≌△EPA，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）∵正比例函數(shù)y₁=2x和一次函數(shù)y₂=-x+b的圖象相交于點(diǎn)P，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，n），
∴代入正比例函數(shù)求得n=6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，6），
∴代入y₂=-x+b得b=9，
所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y₂=-x+9；
圖象為：

∴y₁≥y₂的解為：x≤3；

（2）∵一次函數(shù)y₂=-x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（b，0）、點(diǎn)B（0，b），兩函數(shù)的圖象交與點(diǎn)（，），
∴S_△AOP=×b×=3，
解得：b=±3，
所以一次函數(shù)的表達(dá)式為：y₂=-x±3；

（3）當(dāng)b＞0時(shí)，如圖：

∵△POB≌△EPA，
∴PO=PE，
∵E（2，0），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)P在y=2x上，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
∴代入y₂=-x+b得：y₂=-x+3；
當(dāng)b＜0時(shí)，如圖：

∵△POB≌△EPA，
∴PO=PE，
∵點(diǎn)P在第三象限，
∴不成立；
綜上所敘：若△POB≌△EPA時(shí)，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+3．
分析：（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入到正比例函數(shù)中求得n值，然后代入到一次函數(shù)中即可確定其表達(dá)式，然后根據(jù)其圖象的位置和交點(diǎn)坐標(biāo)確定不等式的解集；
（2）用b表示出點(diǎn)A和點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)S_△AOP=3求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求得一次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）分一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限和經(jīng)過二、三、四象限兩種情況并利用全等三角形的性質(zhì)求得一次函數(shù)的表達(dá)式即可．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識，特別是本題中與三角形的面積的知識相結(jié)合使得問題變難，此類題目往往是中考的壓軸題，應(yīng)該重點(diǎn)掌握．