(2012•朝陽二模)如圖,拋物線y=
12
x2+mx+n過原點O,與x軸交于A,點D(4,2)在該拋物線上,過點D作CD∥x軸,交拋物線于點C,交y軸于點B,連接CO、AD.
(1)求C點的坐標及拋物線的解析式;
(2)將△BCO繞點O按順時針旋轉(zhuǎn)90°后 再沿x軸對折得到△OEF(點C與點E對應),判斷點E是否落在拋物線上,并說明理由;
(3)設過點E的直線交OA于點P,交CD邊于點Q.問是否存在點P,使直線PQ分梯形AOCD的面積為1:3兩部分?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)將O(0,0),D(4,2)兩點坐標代入拋物線y=
1
2
x2+mx+n,列方程組求m、n的值,確定拋物線解析式,由CD∥x軸,將y=2代入拋物線解析式,可求C點坐標;
(2)由旋轉(zhuǎn)、軸對稱的性質(zhì),求EF,OF,確定E點坐標,把E點橫坐標代入拋物線解析式求y的值,判斷E點中拋物線上;
(3)設P(a,0),S梯形CQPO=S1,S梯形ADQP=S2,根據(jù)直線PQ分梯形AOCD的面積為1:3兩部分,分兩種情況:①S1:S2=1:3,②S1:S2=3:1,根據(jù)S1與的S梯形AOCD關(guān)系,列方程求a的值.
解答:解:(1)依題意,得
n=0
8+4m+n=2
,解得
m=-
3
2
n=0
,
所以,拋物線解析式為y=
1
2
x2-
3
2
x,把y=2代入,得x1=4,x2=-1,
所以,C(-1,2);

(2)點E落在拋物線上.理由如下:
∵BC=1,OB=2,∠OBC=90°,
由旋轉(zhuǎn)、軸對稱的性質(zhì)知:EF=1,OF=2,∠OFE=90°,
∴點E點的坐標為(2,-1),
當x=2時,y=
1
2
×4-
3
2
×2=-1
,∴點E落在拋物線上;

(3)存在點P(a,0).如圖記S梯形CQPO=S1,S梯形ADQP=S2,
S梯形AOCD=
1
2
(AO+CD)×2=3+5=8,
當PQ經(jīng)過點F(2,0)時,易求S1=5,S2=3,此時S1:S2不符合條件,故a≠3.
設直線PQ的解析式為y=kx+b(k≠0),將E(2,-1),P(a,0)代入,
2k+b=-1
ak+b=0
,解得
k=
1
a-2
b=-
a
a-2
,
∴y=
1
a-2
x-
a
a-2
,
由y=2得x=3a-4,∴Q(3a-4,2)
∴CQ=(3a-4)-(-1)=3a-3,PO=a,
S1=
1
2
(3a-3+a)×2=4a-3,
下面分兩種情形:①當S1:S2=1:3時,S1=
1
4
S梯形AOCD=
1
4
×8=2;
∴4a-3=2,解得a=
5
4
;
②當S1:S2=3:1時,S1=
3
4
S梯形AOCD=
3
4
×8=6;
∴4a-3=6,解得a=
9
4
;
綜上所述:所求點P的坐標為(
5
4
,0)或(
9
4
,0).
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式,確定A、B、C、D的坐標,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定E點坐標,通過求直線PQ解析式確定Q點坐標,從而表示直線PQ分得兩部分的面積,利用列方程的方法求解.
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4
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