【題目】如圖,CD為⊙O的直徑,點B在⊙O上,連接BC、BD,過點B的切線AE與CD的延長線交于點A,∠AEO=∠C,OE交BC于點F.
(1)求證:OE∥BD;
(2)當⊙O的半徑為5,sin∠DBA= 時,求EF的長.
【答案】
(1)證明:連接OB,
∵CD為⊙O的直徑,
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°,
∵AE是⊙O的切線,
∴∠ABO=∠OBD+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠CBO,
∵OB、OC是⊙O的半徑,
∴OB=OC.
∴∠C=∠CBO,
∴∠C=∠ABD,
∵∠E=∠C,
∴∠E=∠ABD,
∴OE∥BD
(2)解:由(1)可得sin∠C=∠DBA= ,
在Rt△OBE中,sin∠C= ,OC=5
∴BD=4,
∵∠CBD=∠EBO=90°,∠E=∠C,
∴△CBD∽△EBO.
∴ =
,
∴EO= ,
∵OE∥BD,CO=OD,
OF= BD=2,
∴CF=FB.
EF=OE﹣OF=
【解析】(1) 連接OB,由直徑所對的圓周角是直角得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°,又由切線的性質定理得出∠ABO=∠OBD+∠ABD=90°,進而得出∠ABD=∠CBO,由同圓的半徑相等得出∠C=∠CBO,進而得出∠C=∠ABD,∠E=∠ABD,由平行線的判斷定理得出結論;(2)由(1)可得sin∠C=∠DBA在在Rt△OBE中根據sin∠C得出BD的長度,進而判斷出△CBD∽△EBO.由相似三角形的性質得出OE的長度,最后由中位線的判斷得出CF=FB.進而得出結論。
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定和圓周角定理的相關知識點,需要掌握同位角相等,兩直線平行;內錯角相等,兩直線平行;同旁內角互補,兩直線平行;頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題.
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【題目】如圖,△ABC中,P,Q分別是BC,AC上的點,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別是R,S,若AQ=PQ,PR=PS,下面三個結淪:①AS=AR:②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正確的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③
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【題目】科學實驗證明,平面鏡反射光線的規(guī)律是:射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等.如圖1,一束平行光線與
射向一個水平鏡面后被反射,此時有
,
.如圖2,一束光線
射到平面鏡
上,被平面鏡
反射到平面鏡
上,又被
鏡反射,若平面鏡
反射出的光線
平行于光線
.
(1)當,求
的度數;
(2)求的度數.
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【題目】如圖,鐵路上A、B兩點相距25km,C、D為兩村莊,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E,使得C、D兩村到E站的距離相等,則E站應建在距A站多少千米處?
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【題目】如圖,點A在直線l上,點Q沿著直線l以3厘米/秒的速度由點A向右運動,以AQ為邊作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,tan∠ABQ= ,點C在點Q右側,CQ=1厘米,過點C作直線m⊥l,過△ABQ的外接圓圓心O作OD⊥m于點D,交AB右側的圓弧于點E.在射線CD上取點F,使DF=
CD,以DE、DF為鄰邊作矩形DEGF.設運動時間為t秒.
(1)直接用含t的代數式表示BQ、DF;
(2)當0<t<1時,求矩形DEGF的最大面積;
(3)點Q在整個運動過程中,當矩形DEGF為正方形時,求t的值.
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【題目】如圖,一次函數y=ax﹣1的圖象與反比例函數y= 的圖象交于A(3,1),B兩點,與x軸交于點C,與y軸交于點D.
(1)求a,k的值及點B的坐標;
(2)直接寫出不等式ax﹣1≥ 的解集;
(3)在x軸上存在一點P,使得△POA與△OAC相似(不包括全等),請你求出點P的坐標.
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【題目】按要求完成下列證明:
已知:如圖,在△ABC中,CD⊥AB于點D,E是AC上一點,且∠1+∠2=90°.
求證:DE∥BC.
證明:∵CD⊥AB(已知),
∴∠1+ =90°( ).
∵∠1+∠2=90°(已知),
∴ =∠2( ).
∴DE∥BC( ).
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【題目】在實數范圍內定義一種運算“*”,其運算法則為a*b=a2﹣ab.根據這個法則,下列結論中正確的是_______.(把所有正確結論的序號都填在橫線上)
①*
=2﹣
;②若a+b=0,則a*b=b*a;③(x+2)*(x+1)=0是一元二次方程;④方程(x+3)*1=1的根是x1=
,x2=
.
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