【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn),且CE=BF,連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.

(1)請(qǐng)判斷:FG與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;(不要求證明)

(2)如圖2,若點(diǎn)E、F分別是CB、BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)給出判斷并予以證明;

(3)如圖3,若點(diǎn)E、F分別是BC、AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.

【答案】(1)FG = CE, FG ∥ CE;

(2)仍然成立,證明見(jiàn)解析;

(3)FG = CE , FG ∥ CE仍然成立. 。

【解析】試題分析:1)結(jié)論:FG=CEFGCE.如圖1中,設(shè)DECF交于點(diǎn)M,首先證明CBF≌△DCE,推出DECF,再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可.(2)結(jié)論仍然成立.如圖2中,設(shè)DECF交于點(diǎn)M,首先證明CBF≌△DCE,推出DECF,再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可.(3)結(jié)論仍然成立.如圖3中,設(shè)DEFC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,證明方法類似.

試題解析:1)結(jié)論:FG=CE,FGCE.

理由:圖1中,設(shè)DECF交于點(diǎn)M.

∵四邊形ABCD是正方形,

BC=CD,ABC=DCE=90°

CBFDCE中,

CBFDCE,

∴∠BCF=CDE,CF=DE,

∵∠BCF+DCM=90°,

∴∠CDE+DCM=90°

∴∠CMD=90°,

CFDE,

GEDE,

EGCF,

EG=DECF=DE,

EG=CF,

∴四邊形EGFC是平行四邊形。

GF=EC,

GF=EC,GFEC.

(2)結(jié)論仍然成立。

理由:如圖2中,設(shè)DECF交于點(diǎn)M.

∵四邊形ABCD是正方形,

BC=CD,ABC=DCE=90

CBFDCE中,

,

CBFDCE,

∴∠BCF=CDE,CF=DE,

∵∠BCF+DCM=90°,

∴∠CDE+DCM=90°,

∴∠CMD=90°

CFDE,

GEDE

EGCF,

EG=DECF=DE,

EG=CF

∴四邊形EGFC是平行四邊形。

GF=EC,

GF=EC,GFEC.

(3)結(jié)論仍然成立。

理由:如圖3中,設(shè)DEFC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M.

∵四邊形ABCD是正方形,

BC=CD,ABC=DCE=90,

∴∠CBF=DCE=90

CBFDCE中,

,

CBFDCE,

∴∠BCF=CDECF=DE

∵∠BCF+DCM=90°,

∴∠CDE+DCM=90°

∴∠CMD=90°,

CFDE,

GEDE,

EGCF,

EG=DECF=DE,

EG=CF,

∴四邊形EGFC是平行四邊形。

GF=EC,

GF=EC,GFEC.

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