Question

13．如圖，已知點A（0，a），B（b，0），C（0，c），且|a+4|+$\sqrt{{b^2}-8b+16}$=0，（c+1）²≤0，點D與點C關(guān)于直線AB對稱，
（1）求直線AB的解析式和點C、D的坐標(biāo)；
（2）點E在直線AB上，直接寫出|EO-ED|的最大值和最小值及對應(yīng)的點E的坐標(biāo)；
（3）點F（-1，0），在平面內(nèi)有一點P，使得△OAP∽△DAF，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b、c的值，從而得到點A、B、C的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得AB的解析式，由等腰直角三角形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可證明△ADC為等腰直角三角形，從而可求得點D的坐標(biāo)；
（2）由軸對稱圖形的性質(zhì)可知EC=ED，由三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)點E與點A重合時，|EO-ED|有最大值，當(dāng)EO=EC時，|EO-ED|有最小值；
（3）依據(jù)兩邊對應(yīng)成立且夾角相等的兩個三角形相似可知∠PAO=∠FAD且$\frac{AD}{OA}=\frac{FA}{PA}$，從而可求得點P的坐標(biāo)，作P關(guān)于y軸對稱點P′，由軸對稱的性質(zhì)可知△OAP′∽△DAF．

解答 解：（1）∵|a+4|+$\sqrt{{b^2}-8b+16}$=0，
∴a+4=0，b-4=0．
解得：a=-4，b=4．
∴A（0，-4）、B（4，0）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
∵將A（0，-4）、B（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x-4．
∵（c+1）²≤0，（c+1）^2_≥0，
∴c+1=0．
解得：c=-1．
∴點C（0，-1）．
如圖1所示：

∵A（0，-4）、B（4，0），
∴OB=OA．
∴∠OAB=45°．
∵點C與點D關(guān)于AB對稱，
∴∠DAE=45°，CA=DA=3．
∴∠CAD=90°．
∴點D的縱坐標(biāo)為（3，-4）．
（2）如圖2所示：

∵點D與點C關(guān)于AB對稱，
∴CE=DE．
∴|EO-ED|=|EO-ED|=|EO-EC|．
∴當(dāng)點O、C、E在一條直線上時，|EO-EC|有最大值．
∴當(dāng)點E的坐標(biāo)為（0，-4）時，|EO-EC|的最大值為1，即|EO-ED|的最大值為1．
∵EO=EC時，|EO-ED|=|EO-EC|=0，
∴點E在OC的垂直平分線上．
∴點E的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$．
∵將y=-$\frac{1}{2}$代入y=x-4得：x=$\frac{7}{2}$，
∴E（$\frac{7}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，-$\frac{1}{2}$）時，|EO-ED|的最小值為0．
（3）如圖3所示：過點P作PG⊥AD，垂足為G．

當(dāng)∠PAO=∠FAD且$\frac{AD}{OA}=\frac{FA}{PA}$時，△OAP∽△DAF．
∵∠PAO=∠FAD，
∴∠FAO=∠PAG．
∴$\frac{PG}{AG}=\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{4}$．
設(shè)PG=a，則AG=4a．則由勾股定理可知：AP=$\sqrt{P{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{17}$a．
∵OF=1，OA=4，
∴AF=$\sqrt{17}$．
∴$\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}a}$．
解得：a=$\frac{4}{3}$．
∴PG=$\frac{4}{3}$，AG=$\frac{16}{3}$．
∴點G的坐標(biāo)為（-$\frac{16}{3}$，$-\frac{16}{3}$）．
作點P關(guān)于y軸對稱點P′，由軸對稱圖形的性質(zhì)可知△OAP≌△OAP′，P′（$\frac{16}{3}$，$-\frac{16}{3}$）．
∵△OAP∽△DAF，
∴△OAP′∽△DAF．
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（-$\frac{16}{3}$，$-\frac{16}{3}$）或（$\frac{16}{3}$，$-\frac{16}{3}$）時，△OAP∽△DAF．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、軸對稱圖形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、相似三角形的判定，用含a的式子表示AP的長是解題的關(guān)鍵．