20.如圖,直線MN交⊙O于點(diǎn)A、B,AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過(guò)D作DE⊥MN于點(diǎn)E.
(1)DE與⊙O有何位置關(guān)系?說(shuō)明理由;
(2)若DE=4cm,AE=2cm,求⊙O的半徑.

分析 (1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠1=∠2,證出∠1=∠3,得出MN∥OD,證出DE⊥OD,即可得出DE是⊙O的切線;
(2)連接CD,由圓周角定理得出∠ADC=90°,由勾股定理求出AD,證明△ADC∽△AED,得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$,求出直徑AC,即可得出⊙O的半徑.

解答 (1)證明:連接OD,如圖1所示:
∵OA=OD,
∴∠1=∠2,
∵AD平分∠CAM,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴MN∥OD,
∵DE⊥MN,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切線;

(2)解:連接CD,如圖2所示:
∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$(cm),
∵DE⊥MN,
∴∠AED=90°,
∴∠ADC=∠AED,
又∵∠2=∠3,
∴△ADC∽△AED,
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$即$\frac{AC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2}$,
∴AC=10(cm),
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=10cm,
即⊙O的半徑為5cm.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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