Question

若正三角形、正方形、正六邊形的周長(zhǎng)都相等，它們的面積分別記為：S₃、S₄、S₆，則S₃、S₄、S₆由大到小的排列順序是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形設(shè)出正六邊形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形、正方形、正六邊形的周長(zhǎng)都相等求出各圖形的邊長(zhǎng)，再分別求出其面積即可．

解答：解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，如圖所示，
則△ABC的邊長(zhǎng)為2a，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

3a

2

，
如圖（1），過(guò)A作AD⊥BC，D為垂足；
∵△ABC是等邊三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

(2a)2-a2

=

3

a，
∴S₃=S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×2a×

3

a=

3

a²．≈1.73a²．
如圖（2），∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=

3a

2

，
∴S₄=S_□ABCD=AB2=

3a

2

×

3a

2

=

9

4

a²．≈2.25a²．
如圖（3），過(guò)O作OG⊥BC，G為垂足，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOC=

360°

6

=60°，
∴∠BOG=30°，OG=

BG

tan30°

=

a 2

3 3

=

3 a

2

．
∴S_△BOC=

1

2

×

3 a

2

×a=

3

4

a²，
∴S₆=6S_△BOC=6×

3

4

a²=

3

2

3

a²≈2.598a²．
∵2.598a²＞2.25a²＞1.73a²．
∴S₆＞S₄＞S₃．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)正三角形、正方形、正六邊形的周長(zhǎng)都相等設(shè)出其邊長(zhǎng)，求出其邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，最后再分別求出其面積進(jìn)行比較即可．