Question

如圖，兩同心圓半徑分別為

3

、3，點(diǎn)A、B分別為兩同心圓上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作正方形ABCD，則OD的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：把AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OO′，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再求出∠BAO=∠DAO′，然后利用“邊角邊”證明△ABO和△ADO′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DO′=BO，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求解即可．

解答：解：如圖，把AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AO′，
∴△AOO′是等腰直角三角形，
∵AO=3，
∴OO′=

2

AO=3

2

，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠BAO′=∠DAO′+∠BAO′=90°，
∴∠BAO=∠DAO′，
在△ABO和△ADO′，

AO=AO′ ∠BAO=∠DAO′ AB=AD

，
∴△ABO≌△ADO′（SAS），
∴DO′=BO=

3

，
∴OO′+O′D≥OD，
當(dāng)O、O′、D三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，
此時(shí)，OD的最大值為3

2

+

3

．
故答案為：3

2

+

3

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．