Question

20．已知函數(shù)y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數(shù)）．
（1）證明：無(wú)論m取何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），它們的橫坐標(biāo)分別為x₁和x₂，且$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在直線(xiàn)y=x-10，當(dāng)MA+MB最小，求直線(xiàn)AM的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算判別式的值，再配方得到△=4（m+1）²+8，則根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷△＞0，于是根據(jù)判別式的意義可判斷無(wú)論m取何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，x₁和x₂為方程x²-2mx-2=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-2（m+3），再利用$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，則$\frac{2m}{-2（m+3）}$=-$\frac{1}{4}$，解得m=1，于是得到拋物線(xiàn)解析式為y=x²-2m-8，接著通過(guò)解方程x²-2m-8=0得到A（-2，0），B（4，0），利用直線(xiàn)y=x-10得到它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為C、E的坐標(biāo)，如圖，則可判斷△OCE為等腰直角三角形，得到∠OCE=45°，然后作B點(diǎn)關(guān)于CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，如圖，則∠DCE=∠BCE=45°，所以△BCD為等腰直角三角形，于是可得到D（10，-6），連結(jié)AD交CE于M，連結(jié)MB，如圖，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可判斷此時(shí)MA+MB最小，最后利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)AM的解析式．

解答 （1）證明：△=（-2m）²-4•[-2（m+3）]
=4m²+8m+12
=4（m+1）²+8，
∵4（m+1）²≥0，
∴4（m+1）²+8＞0，即△＞0，
∴無(wú)論m取何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解：x₁和x₂為方程x²-2mx-2=0的兩根，則x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-2（m+3），
∵$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2m}{-2（m+3）}$=-$\frac{1}{4}$，解得m=1，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x²-2m-8，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2m-8=0，解得x₁=-2，x₂=4，則A（-2，0），B（4，0），
直線(xiàn)y=x-10坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為C、E，如圖，則C（10，0），E（-10，0），
∴△OCE為等腰直角三角形，
∴∠OCE=45°，
作B點(diǎn)關(guān)于CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，如圖，則∠DCE=∠BCE=45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴CD=BC=10-4=6，
∴D（10，-6），
連結(jié)AD交CE于M，連結(jié)MB，如圖，
∵BM=MD，
∴MA+MB=MA+MD=AD，
∴此時(shí)MA+MB最小，
設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），D（10，-6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{10k+b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．解決本題的關(guān)鍵是確定B點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x-10的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．