Question

D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，DM⊥DN，DM，DN分別交BC，CA于點E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)∠MDN繞點D轉(zhuǎn)動時，求證：DE=DF．
（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積．

Answer 1

分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，則∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根據(jù)全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到結(jié)論；
（2）由△DCE≌△ADF，則S_△DCE=S_△ADF，于是四邊形DECF的面積=S_△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根據(jù)三角形的面積公式易求得S_△ACD，從而得到四邊形DECF的面積．

解答：解：（1）連CD，如圖，
∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，
∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，
∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠ADF，
在△DCE和△ADF中，

∠DCE=∠DAF DC=DA ∠CDE=∠ADF

，
∴△DCE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF；
（2）∵△DCE≌△ADF，
∴S_△DCE=S_△ADF，
∴四邊形DECF的面積=S_△ACD，
而AB=2，
∴CD=DA=1，
∴四邊形DECF的面積=S_△ACD=

1

2

CD•DA=

1

2

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．