Question

如圖，△ABC三個頂點(diǎn)C、A、B的坐標(biāo)分別是C（0，-3）、A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜x₂，其中x₁、x₂是方程x²-2x-8=0的兩個根．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是線段AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，連接CM．
①當(dāng)△CMN的面積與△AMN的面積相等時，求此時線段MN的長；
②當(dāng)△CMN的面積為2時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵x²-2x-8=0，
∴x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，0），B（4，0）；

（2）①∵S_△CMN=S_△AMN
∴AN=NC，
∵M(jìn)N∥BC，
∴MN為△ABC的中位線
在Rt△OBC中，OB=4，OC=3，則BC=5，
∴，
②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖）
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）
∴AB=6，AM=m+2，
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC
∴，
∴
∴，
∴
=，
∴整理得：m²-2m=2，
解得m₁=0，m₂=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0），（2，0）．
分析：（1）解方程得出方程x²-2x-8=0的兩個根即可得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①利用S_△CMN=S_△AMN得出AN=NC，進(jìn)而得出MN為△ABC的中位線求出MN即可；
②利用MN∥BC，得出△AMN～△ABC，進(jìn)而得出，用m表示出△CMN的面積求出m即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積求法，利用相似三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．