Question

已知二次函數(shù)y=ax²+（a²-3a-4）x-12a的圖象關(guān)于y軸對稱，并有最大值．
（1）求此二次函數(shù)的解析式，并畫出圖象．
（2）若此二次函數(shù)與x軸交于點A、B，△ABC為等邊三角形（點C在x軸上方），求點C的坐標．
（3）在此二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使∠APB=60°？若有，請求出點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)拋物線對稱軸為y軸列式求解得到a的值，然后代入拋物線計算即可得解，然后畫出圖象即可；
（2）先求出AB的長度，再根據(jù)△ABC是等邊三角形利用等邊三角形的性質(zhì)可得點C一定在AB的中垂線上，即點C在y軸上，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AB邊上的高，寫出點C的坐標即可；
（3）根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，作△ABC的外接圓，然后寫出圓的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標，再根據(jù)對稱性寫出關(guān)于x軸對稱的圓的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標，綜合以上兩種情況即可得解．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)的對稱軸為y軸，
∴-

a2-3a-4

2a

=0，
解得，a=4或-1，
又∵二次函數(shù)有最大值，
∴a=-1，
∴二次函數(shù)解析式為，y=-x²+12，
函數(shù)圖象如右圖所示；

（2）令y=0，則-x²+12=0，
解得x=±2

3

，
∴AB=2

3

-（-2

3

）=2

3

+2

3

=4

3

，
∵△ABC是等邊三角形，且AO=BO，
∴點C一定在AB的中垂線上，即點C在y軸上，
所以，點C到AB的距離為，4

3

×sin60°=4

3

×

3

2

=6，
∵點C在x軸上方，
∴點C的坐標為（0，6）；

（3）存在．理由如下：
如圖，∵∠APB=60°，
∴作△ABC的外接圓，則圓心坐標為（0，2），
則圓的解析式為x²+（y-2）²=（6-2）²，
又∵點P在拋物線圖象上，
∴12-y+（y-2）²=16，
整理得，y²-5y=0，
解得y₁=0（舍去），y₂=5，
此時，-x²+12=5，
解得x=±

7

，
所以，點P的坐標為（

7

，5）或（-

7

，5），
根據(jù)對稱性，當圓心在（0，-2）時，
則圓的解析式為x²+（y+2）²=（6-2）²，
又∵點P在拋物線圖象上，
∴12-y+（y+2）²=16，
整理得，y²+3y=0，
解得y₁=0（舍去），y₂=-3，
此時，-x²+12=-3，
解得，x=±

15

，
所以，點P的坐標為（

15

，-3）或（-

15

，-3），
綜上所述，二次函數(shù)圖象上存在點P（

7

，5）或（-

7

，5）或（

15

，-3）或（-

15

，-3）使∠APB=60°．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，等邊三角形的性質(zhì)，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，（3）利用圓的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立求解是解題的關(guān)鍵．