Question

（本題12分） 如圖，拋物線y=ax²＋bx＋c交x軸于點(diǎn)A（－3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，－3）。點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行。直線y=－x＋m過點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn).

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

   ⑵點(diǎn)K為線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于     點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值；

⑶在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

 

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-1）（x+3）

∵拋物線交y軸于點(diǎn)E（0，-3），將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得a=1

∴所求函數(shù)表達(dá)式為y=（x-1）（x+3），

即y=x²+2x-3；

（2）∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（1，0），

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（5，0），

∴將點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=-x+m，得m=5，

∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5，

設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+5），G點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t²+2t-3），

∵點(diǎn)K為線段AB上一動點(diǎn)，

∴-3≤t≤1，

∴HG=（-t+5）-（t²+2t-3）=-t²-3t+8=-（t+ ）²+ ，

∵-3＜- ＜1，

∴當(dāng)t=- 時(shí)，線段HG的長度有最大值 ；

（3）∵點(diǎn)F是線段BC的重點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（5，0），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0），

∵直線l過點(diǎn)F且與y軸平行，

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3，

∵點(diǎn)M在直線l上，點(diǎn)N在拋物線上，

∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，m），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n²+2n-3），

∵點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)C（5，0），

∴AC=8，

分情況討論：

①若線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8．

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3-n，

∴3-n=8，解得n=-5，

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，12），

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n-3，

∴n-3=8，

解得n=11，

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（11，140），

②若線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對角線，由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對稱”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）

過P點(diǎn)作NP⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，

將x=-1代入y=x²+2x-3，得y=-4，

過點(diǎn)N，B作直線NB交直線l于點(diǎn)M，

在△BPN和△BFM中，

∠NBP=∠MBF，

BF=BP，

∠BPN=∠BFM=90°，

∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，

∴四邊形ANCM為平行四邊形，

∴坐標(biāo)（-1，-4）的點(diǎn)N符合條件，

∴當(dāng)N的坐標(biāo)為（-5，12），（11，140），（-1，-4）時(shí)，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

解析:略