(2013•倉(cāng)山區(qū)模擬)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(2,-1),與x軸交于點(diǎn)A(1,0),其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)F.
(1)求拋物線解析式;
(2)連接AC,過(guò)點(diǎn)A做AC的垂線交拋物線于點(diǎn)D,交對(duì)稱軸于E,求直線AD的解析式;
(3)在(2)的條件下,連接BD,若點(diǎn)P在x軸正半軸,且以A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似,求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).
分析:(1)可設(shè)該拋物線解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-2)2-1.把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入來(lái)求a的值即可;
(2)根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求得∠FAC=45°,則∠DAB=45°,故可設(shè)直線AD的解析式為y=x+b.把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入并求得b的值;
(3)以A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似,對(duì)于這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊沒(méi)有明確的情況下,需要分類討論:①如圖1,當(dāng)△ABD∽△AEP時(shí);②如圖2,當(dāng)△ABD∽△APE時(shí);③如圖3,當(dāng)△ABD∽△PAE時(shí).根據(jù)這些相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求得線段AP的長(zhǎng)度.
解答:解:(1)∵已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(2,-1),
∴設(shè)該拋物線解析式為y=a(x-2)2-1(a≠0).
把點(diǎn)A(1,0)代入,
解得a=1,
∴該函數(shù)解析式為:y=(x-2)2-1.(或y=x2-4x+3).

(2)∵由(1)知,該函數(shù)解析式為:y=(x-2)2-1=(x-1)(x-3),
即y=(x-1)(x-3),
∴A(1,0).
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(2,-1),CF是對(duì)稱軸,
∴AF=CF=1,∠AFC=90°,
∴∠FAC=45°,
∵AC⊥AD,
∴∠DAB=45°,故可設(shè)直線AD的解析式為y=x+b.
把點(diǎn)A(1,0)代入,
解得b=-1,
∴直線AD的解析式為y=x-1.

(3)∵由(2)知,∠DAB=45°,即∠EAF=45°,
∴在直角△AEF中,∠EAF=∠AEF=45°,
∴AF=EF=1,
∴AE=
2
,AB=2.
∵點(diǎn)D的拋物線y=x2-4x+3與直線ADy=x-1的交點(diǎn),
y=x2-4x+3
y=x-1

解得,
x=1
y=0
(不合題意,舍去),或
x=4
y=3
,
∴D(4,3),
∴AD=3
2
,BD=
10

①如圖1,當(dāng)△ABD∽△AEP時(shí),
AB
AE
=
AD
AP
,即
2
2
=
3
2
AP
,
解得AP=3,
∴P(4,0);
②如圖2,當(dāng)△ABD∽△APE時(shí),
AE
AD
=
AP
AB
,即
2
3
2
=
AP
2
,解得:AP=
2
3
,∴P(
4
3
,0);
③如圖3,當(dāng)△ABD∽△PAE時(shí),
AB
PA
=
BD
AE
,即
2
PA
=
10
2
,解得,AP=
2
5
5
,∴P(1-
2
5
5
,0).
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,0)、(
4
3
,0)和(1-
2
5
5
,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)綜合題.其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì).第(3)小題中,用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想,難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面,做到不重不漏.
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2
,2-
2
)
,PQ=2
2

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(2)求圖中陰影部分的面積(精確到0.1);
(3)已知直線AB對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)y=x+2+2
2
,求證:AB是⊙M的切線.

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