Question

如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，E為BC的中點(diǎn)，連接AE、DE，BD、AE交BD于F，連接CF交DE于G，P為DE的中點(diǎn)，連接AP、FP，下列結(jié)論：①DE⊥CF；②；③∠EAP=30°；④△FGP為等腰直角三角形．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知得出首先證明△ABF≌△CBF，得出∠FCB=∠EDC，進(jìn)而求出∠EGC=90°，再利用△CFM∽△PEQ，得出FM=，進(jìn)而求出S_△BCD-S_△BFE的面積即可得出答案，再利用等腰直角三角形的知識(shí)分析得出答案．
解答：解：作FM⊥BC，
∵∠ABF=∠FBC=45°，
AB=BC，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，
∵邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，E為BC的中點(diǎn)，
∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠BAE=∠EDC，
∴∠FCB=∠EDC，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠DEC+∠BCF=90°
∴∠EGC=90°，
∴DE⊥CF，故①DE⊥CF正確；
∵△CFM∽△PEQ，
∴，
∵M(jìn)C=4-BM，BM=FM，PQ=2，EQ=1，
∴FM=，
∴S_△BCD-S_△BFE=8-×2×=；故②正確；
∵，
∴CF×DE=×2×CF=，
∴CF=，
∵∠EGC=∠ECD=90°，∠GEC=∠GEC，
∴△CEG∽△DEC，
∴，
∵邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，E為BC的中點(diǎn)，
∴EC=2，DE=2，
∴==，
∴EG=，CG=，
∴FG=，PG=-=，
∴FG≠PG，
∴根據(jù)已知可得∠FPG≠∠PFG，
∴④△FGP為等腰直角三角形錯(cuò)誤．
∵P為DE的中點(diǎn)，
∴PE=DP=，
∴BE=EC=2，AB=CD，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴△AED為等腰三角形不是等邊三角形，
∵P為DE的中點(diǎn)，
∴AP不垂直于DE，
∵=，
∴∠EAP≠30°，故③不正確；
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有2個(gè)，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定的知識(shí)，重點(diǎn)在于對(duì)三角形各個(gè)性質(zhì)的理解．主要用到的有中點(diǎn)，中位線的性質(zhì)．