Question

已知三條線段a，b，c．
（1）只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)，求作△ABC，使AB=b，BC=c，BC邊上的中線AD=a；
（2）已知另一條中線BE（不要求尺規(guī)作圖）與AD交于點P且△PAB的面積為3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先作出線段BC=c，然后作出BC的垂直平分線找出BC的中點D，再以點B為圓心，以b為半徑畫弧，以D為圓心，以a為半徑畫弧，兩弧相交于點A，然后連接AC，即可得解；
（2）根據三角形的重心性質可得PA=2PD，再根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比可得△PAB的面積等于2倍△PBD的面積，然后根據等底等高的三角形的面積相等可得△ABD的面積等于△ACD的面積，從而得到△ABC的面積等于3倍△PAB的面積，計算即可得解．

解答：解：（1）如圖所示，△ABC即為所求作的三角形；

（2）∵三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍，
∴PA=2PD，
∴S_△PAB=2S_△PBD，
∴S_△PAB=

2

3

S_△ABD，
∵AD是中線，
∴S_△ABD=

1

2

S_△ABC，
∴S_△PAB=

2

3

×

1

2

S_△ABC=

1

3

S_△ABC，
∵△PAB的面積為3，
∴S_△ABC=3S_△PAB=3×3=9．

點評：本題考查了利用邊邊邊作三角形的方法，三角形重心的性質，作出BC邊的垂直平分線找出△ABD的邊BD的長度是解題的關鍵．