Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F．
（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，DE+DF=______；
（2）設(shè)BD=x，四邊形AEDF的面積為y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②問(wèn)線段DE+DF的長(zhǎng)是否隨著D的移動(dòng)而變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出這一定值．

Answer 1

解：（1）連接AD，
∵AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∴AD==4，
∴DE==，
同理：DF=，
∴DE+DF=；
故答案為：；

（2）①作AH⊥BC于點(diǎn)H，則BH=CH=3，AH=，
∴；
設(shè)BD=x，則，
∴S_△BED=，
同理：S_△CDF=，
∴四邊形AEDF的面積=；

②DE+DF的值是定值．
連結(jié)AD，則△ABC的面積=，
∴．
分析：（1）首先連接AD，由等腰三角形的性質(zhì)，易求得BD=CD=3，AD⊥BC，繼而求得AD的長(zhǎng)，則可求得DE與DF的長(zhǎng)；
（2）①首先作AH⊥BC于點(diǎn)H，可求得BH=CH=3，AH=4，然后設(shè)BD=x，可表示出DE與BE的長(zhǎng)，繼而求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②利用三角形的面積，即可求得這一定值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．