Question

16．如圖，一次函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點A、B，點B的橫坐標(biāo)是5，OA=$\sqrt{26}$ 點P（m，n）（n＞1）是第一象限內(nèi)y=$\frac{k}{x}$的圖象上的動點，直線PA、PB分別交y軸于C、D．
（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)y=ax的解析式；
（2）求證：△PCD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可得OB=OA=$\sqrt{26}$，由點B的橫坐標(biāo)是5，利用勾股定理可求點B的縱坐標(biāo)是1，則B（5，1），分別代入y=$\frac{k}{x}$、y=ax，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)及一次函數(shù)y=ax的解析式；
（2）過點P作PH⊥y軸于H．設(shè)P（m，$\frac{5}{m}$），用待定系數(shù)法求出直線PA的解析式，從而得到點C的坐標(biāo)，同理可得到點D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到CH=DH，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PC=PD，即△PCD是等腰三角形．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點A、B，
∴點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OB=OA=$\sqrt{26}$，
設(shè)點B的坐標(biāo)是（5，y），
則5²+y²=26，解得y=±1（負(fù)值舍去），
∴B（5，1）．
∵一次函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象都過點B，
∴1=5a，1=$\frac{k}{5}$，
∴a=$\frac{1}{5}$，k=5，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{5}{x}$，一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{5}$x；
（2）過點P作PH⊥y軸于H，如圖．
∵B（5，1），
∴A（-5，-1）．
∵點P（m，n）（n＞1）是第一象限內(nèi)y=$\frac{5}{x}$圖象上的動點，
∴設(shè)P（m，$\frac{5}{m}$），直線PA的方程為y=cx+d，直線PB的方程為y=px+q，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{cm+d=\frac{5}{m}}\\{-5c+d=-1}\end{array}\right.$，解得直線PA的方程為y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{5}{m}$-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{mp+q=\frac{5}{m}}\\{5p+q=1}\end{array}\right.$，解得直線PB的方程為y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{5}{m}$+1，
∴C（0，$\frac{5}{m}$-1），D（0，$\frac{5}{m}$+1），
∵H（0，$\frac{5}{m}$），
∴CH=$\frac{5}{m}$-（$\frac{5}{m}$-1）=1，DH=$\frac{5}{m}$+1-$\frac{5}{m}$=1，
∴CH=DH，
∴PH垂直平分CD，
∴PC=PD，
∴△PCD是等腰三角形．

點評 本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、求反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象的交點，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確求出兩函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵．