Question

如圖，正方形ABCD中，點E是BC邊的中點，連接DE，過點C作CF⊥DE交BD于點G，交AB于點H，連接BF，以下結論：①AH=BH；②∠BFH=45°；③；④DG=2BG．其中正確的結論是（ ）

A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：根據全等三角形的判定與性質首先判定△BHC≌△CED，進而利用相似三角形與性質得出△BHG∽△DCG，進而得出答案即可．
解答：解：∵CF⊥DE，
∴∠DCF+∠FDC=90°，
∵∠BCH+∠DCF=90°，
∴∠BCH=∠EDC，
∵∠HBC=∠ECD，
BC=CD，
∴△BHC≌△CED，
∴CE=BH，
∵點E是BC邊的中點，
∴AH=BH，故①AH=BH正確；
②作BM垂直于FE的延長線，垂足為點M．
作BN⊥HF，垂足為點N．
易證NBMF為矩形，
因為tan∠HCB=，
設EF的長度為K，則CF=FN=2K，
易證矩形NBMF為正方形．
則BF為正方形的對角線，則②∠BFH=45°．
故②∠BFH=45°正確；
③第二問證出，易證HN=K，BF=2K．從而易證HF+EF=BF．
故③正確，
∵AB∥CD，
∴△BHG∽△DCG，
∴=，
∴DG=2BG．故④DG=2BG正確；
故選：D．
點評：此題主要考查了正方形的性質，三角形全等的判定與性質相似三角形的判定與性質等知識點，學生需要有比較強的綜合知識．