Question

【題目】如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE．

（1）求證：BG=AE；

（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段EG經(jīng)過點A時，（如圖②所示）

①求證：BG⊥CE；

②設(shè)DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②．

【解析】

試題分析：（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠GDE=90°，DG=DE，則可根據(jù)“SAS“判斷△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；

（2）①如圖②，先判斷△DEG為等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，則可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；

②設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=GE=x，由（1）的結(jié)論得BG=AE=4x，則根據(jù)勾股定理得AB=5x，接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=AB=x，然后證明△DBM∽△DGB，則利用相似比可計算出DM=x，所以GM=x，于是可計算出的值．

試題解析：（1）證明：如圖①，∵AD為等腰直角△ABC的高，∴AD=BD，∵四邊形DEFG為正方形，∴∠GDE=90°，DG=DE，在△BDG和△ADE中，∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，DG=DE，∴△BDG≌△ADE，∴BG=AE；

（2）①證明：如圖②，∵四邊形DEFG為正方形，∴△DEG為等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45°，由（1）得△BDG≌△ADE，∴∠3=∠2=45°，∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，∴BG⊥GE；

②設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，∴DG=GE=x，∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x，在Rt△BGA中，AB===5x，∵△ABD為等腰直角三角形，∴∠4=45°，BD=AB=x，∴∠3=∠4，而∠BDM=∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x，∴==．