Question

7．已知拋物線y=a（x-1）²-3（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，-2），頂點為B．
（1）試確定a的值，并寫出B點的坐標；
（2）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點，試寫出一次函數(shù)的解析式；
（3）試在x軸上求一點P，使得△PAB的周長取最小值；
（4）若將拋物線平移m（m≠0）個單位，所得新拋物線的頂點記作C，與原拋物線的交點記作D，問：點O、C、D能否在同一條直線上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（0，-2）代入y=a（x-1）²-3即可得到結論；
（2）設一次函數(shù)的解析式為y=kx+b將A、B兩點的坐標代入解析式解方程組即可得到結論；
（3）連接EB交x軸于點P，則P點即為所求，求出過E、B點的一次函數(shù)解析式為y=-5x+2，即可得到結論；
（4）如圖2，設拋物線向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）個單位，得到新的拋物線的頂點C（1+m，-3），解方程組得到兩拋物線的交點D（$1+\frac{m}{2}，\frac{m^2}{4}-3$），解一元二次方程得到m=2或m=-3，即可得到結論．

解答 解：（1）把A（0，-2）代入y=a（x-1）²-3得-2=a（0-1）²-3，解得：a=1，
∵頂點為B，
∴B（1，-3）；

（2）設一次函數(shù)的解析式為y=kx+b
將A、B兩點的坐標代入解析式求得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{-3=k+b}\end{array}\right.$，
∴k=-1，b=-2，
∴寫出一次函數(shù)的解析式為y=-x-2，；

（3）A點關于x軸的對稱點記作E，則E（0，2），
如圖1，連接EB交x軸于點P，則P點即為所求，
理由：在△PAB中，AB為定值，
只需PA+PB取最小值即可，
而PA=PE，從而只需PE+PB取最小值即可，
∵兩點之間線段最短，
∴PE+PB≤EB，
∴E、P、B三點在同一條直線上時，取得最小值．
由于過E、B點的一次函數(shù)解析式為y=-5x+2，
當y=0時，x=$\frac{2}{5}$，
∴P（$\frac{2}{5}$，0）；

（4）如圖2，設拋物線向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）個單位，
則所得新的拋物線的頂點C（1+m，-3），
∴新拋物線解析式為 y=（x-1-m）²-3
解$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-1-m）^{2}-3}\\{y=（x-1）^{2}-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{m}{2}}\\{y=\frac{{m}^{2}}{4}-3}\end{array}\right.$，
∴兩拋物線的交點D（$1+\frac{m}{2}，\frac{m^2}{4}-3$），
∴經(jīng)過O、C的一次函數(shù)解析式是y=-$\frac{3}{1+m}$x，若 O、C、D在同一直線上，
則 有$\frac{m^2}{4}-3=-\frac{3}{1+m}（1+\frac{m}{2}）$，
化簡整理得m³+m²-6m=0，
∵m≠0，
∴m²+m-6=0，解得：m=2或m=-3，
∴O、C、D三點能夠在同一直線上，
此時m=2或m=-3．
即拋物線向右平移2個單位，或者向左平移3個單位，均滿足題目要求．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，平移的性質，解一元二次方程，軸對稱-最短距離問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．