如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑作⊙O交AC邊于點D,過點D的切線交BC邊于點E.
(1)求證:點E是BC邊的中點;
(2)連接OC交DE于點F,若CF=OF,求cosA的值.

【答案】分析:(1)可證明BE是⊙O的切線,根據(jù)DE切⊙O,由切線長定理得EB=ED,則EC=ED,從而得出答案;
(2)由已知條件得EF∥BO,則得出∠DOA=90°,根據(jù)OA=OD,求出∠A=∠ODA=45°,再計算出cosA的值.
解答:(1)證明:連接OD、BD,
∵∠ABC=90°,BA為⊙O的直徑,
∴BE是⊙O的切線,∠BDA=90°,
又∵DE切⊙O于點D,
∴EB=ED,
∴∠CBD=∠EDB,
∵∠BDA=90°,
∴∠CDB=90°,
∴∠EDB+∠CDE=90°,∠ACB+∠CBD=90°,
∴∠CDE=∠ACB,
∴EC=ED.
∴EB=EC,
即點E是BC邊的中點;

(2)解:∵CF=OF,EC=EB,
∴EF∥BO,
∴∠DOB+∠EDO=180°,
∵∠EDO=90°,
∴∠DOB=90°,
∴∠DOA=90°,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA=45°,
∴cosA=
點評:本題是一道關(guān)于圓的題目,考查了銳角三角函數(shù)、切線的判定和性質(zhì),切線長定理以及平行線的判定,是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
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