Question

如圖所示，拋物線m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）與x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為C_1，與x軸的另一個交點(diǎn)為A₁.

(1)當(dāng)a=－1,b=1時，求拋物線n的解析式；

(2)四邊形AC₁A₁C是什么特殊四邊形，請寫出結(jié)果并說明理由；

(3)若四邊形AC₁A₁C為矩形，請求出a,b應(yīng)滿足的關(guān)系式.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 平行四邊形，理由見解析 (3)

【解析】解：（1）當(dāng)時，拋物線的解析式為：.

            令，得：.     ∴C（0,1）.

     令，得：.    ∴A（-1,0），B（1,0）

     ∵C與C₁關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，

         ∴拋物線的解析式為： ………4分

（2）四邊形AC₁A₁C是平行四邊形.               ………5分

  理由：∵C與C₁、A與A₁都關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，

        ∴,

                ∴四邊形AC₁A₁C是平行四邊形.         ………8分

（3）令，得：.     ∴C（0,）.

     令，得：,   ∴,

             ∴,                 ………9分

     ∴.

     要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足,

    ∴，    ∴，

    ∴.

           ∴應(yīng)滿足關(guān)系式.              ………10分

（1）通過a=－1,b=1，求得拋物線的解析式，從而求得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性求得拋物線的解析式

(2) 根據(jù)對稱性求得四邊形AC₁A₁C是平行四邊形

（3）通過拋物線求得A、B的坐標(biāo)，求得AB、BC長，要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足，從而求得a,b的關(guān)系式