Question

（12分）如圖，△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，點E、F同時分別從點B、 A出發(fā)，各自沿BA、AD方向運動到點A、D停止，運動的速度相同，連接EC、FC．

（1）寫出在點E、F運動過程中，所有全等的三角形。

（2）點E、F運動過程中∠ECF的大小是否隨之變化？請說明理由；

（3）點E、F運動過程中，以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積變化嗎？請說明理由;

（4）接EF，在圖中找出和∠ACE相等的所有角，并說明理由．

                                                                                

 

Answer 1

（1）   （2）∠ECF不變?yōu)?0°，理由見解析

（3）不變化，理由見解析（4）∠ACE=∠FCD=∠AFE．

解析:（1）∵△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形,

∴

∵點E、F運動的速度相同,

∴AE=DF,BE=AF

∴        

（2）∠ECF不變?yōu)?0°．（1分）

理由如下：

∵△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，

∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，

又∵BE=AF，

∴△BCE≌△ACF，

∴∠ECB=∠FCA．（4分）

所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）

（3）不變化．理由如下：

∵四邊形AECF的面積=△AFC的面積+△AEC的面積，（7分）

又∵△BCE≌△ACF，

∴△AEC的面積+△BEC的面積=△ABC的面積；（8分）

（4）證明：∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，

∴∠AFE=∠FCD，

所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）

（1）根據(jù)SSS求證，根據(jù)SAS求證   ；

（2）根據(jù)SAS證明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，從而證明結(jié)論；

（3）結(jié)合（1）中證明的全等三角形，即可發(fā)現(xiàn)以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積即為△ABC的面積；

（4）根據(jù)等邊三角形的判定可以證明△ECF是等邊三角形，再進(jìn)一步根據(jù)平角定義，得到∠AFE+∠DFC=120°，則∠AFE=∠FCD，從而求解