Question

有一個(gè)矩形ABCD，A在原點(diǎn)，C在的圖象上，如圖（1），AB=8．矩形ABCD沿射線AC的方向以每秒1的速度平移，同時(shí)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒1的速度沿平移中的矩形的邊B-C-D運(yùn)動(dòng)．
（1）求平移中的矩形ABCD的對(duì)稱中心K到原點(diǎn)的距離y關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若作PM⊥x軸，PN⊥y軸，是否在某一時(shí)刻，使矩形OMPN與矩形ABCD相似？若有，求出來(lái)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意先求出初始距離，再求移動(dòng)到某一位置時(shí)到原點(diǎn)的距離；
（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒時(shí)A的坐標(biāo)為（4，3），又因此時(shí)P在線段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5）；
（3）因?yàn)槟骋粫r(shí)刻，矩形OMPN與矩形ABCD相似，所以可設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒1的速度沿平移中的矩形的邊B-C-D運(yùn)動(dòng)，所以需分情況討論．
解答：解：（1）∵C在的圖象上，AB=8，
∴AC=10，所以矩形ABCD的對(duì)稱中心即對(duì)角線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5．
又因矩形ABCD沿射線AC的方向以每秒1的速度平移，
所以平移中的矩形ABCD的對(duì)稱中心K到原點(diǎn)的距離y關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=t+5；（2分）

（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒時(shí)A的坐標(biāo)為（4，3），又因此時(shí)P在線段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5），
即P（12，8）；（5分）

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
當(dāng)0≤t≤6時(shí)，（P在BC上）時(shí)，t=6；（7分）
時(shí)，t=20（舍）．（9分）
當(dāng)6≤t≤14時(shí)，（P在CD上）時(shí)，t=6；（10分）
時(shí)，t=（舍）．（11分）
因此，只有t=6時(shí)矩形OMPN與矩形ABCD相似．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，但應(yīng)注意解決這類問(wèn)題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．