Question

【題目】如圖，AB是的直徑，C是半圓AB上一點，連AC、OC，AD平分，交弧BC于D，交OC于E，連OD，CD，下列結論：

①弧弧CD；②；③；④當C是半圓的中點時，則．其中正確的結論是（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據圓周角定理得出弧CD=弧BD，推出CD=BD，求出∠DOB=2∠DAB，∠CAB=2∠DAB，根據平行線判定推出AC∥OD，根據三角形外角性質即可判斷③，連接BD、BE，求出BD=DE，求出BD=CD，即可得出答案．

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴弧BD=弧CD，∴①正確；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠BOD=∠ODA+∠OAD=2∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠DAB，
∴∠DOB=∠CAB，
∴AC∥OD，∴②正確；
∵∠ACD=∠ACO+∠OCD，∠OED=∠OCD+∠CDA，
根據已知不能推出∠ACO=∠CDA，∴∠ACD=∠OED不對，∴③錯誤；
連接BD，BE，

∵C為弧AB中點，
∴∠CAB=45°，
∴∠DAB=22.5°，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=67.5°，
∵C為弧AB中點，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴∠EBA=∠DAB=22.5°，
∴∠DBE=67.5°-22.5°=45°，
∴∠DEB=180°-90°-45°=45°=∠DBE，
∴DE=BD，
∵弧CD=弧BD，
∴CD=BD，
∴CD=DE，∴④正確；
故選B．