Question

如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊BC的長(zhǎng)為8，平行于BC邊的直線分別交AB，AC于M，N，將△AMN沿直線MN翻折，得到△A′MN，設(shè)△A′MN與△ABC的公共部分的面積為y，MN的長(zhǎng)為x．
（1）如果A′在△ABC的內(nèi)部，求出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）是否存在直線MN，使y的值為△ABC面積的

1

3

？如果存在，則求出求出對(duì)應(yīng)的x值；如果不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高也是斜邊上的中線，則等于斜邊的一半．再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，要求自變量的取值范圍，根據(jù)A′在△ABC的內(nèi)部和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)則x的值應(yīng)小于斜邊的一半；
（2）如果是（1）中的情況，根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，則y的值一定小于△ABC面積的

1

4

．所以應(yīng)考慮點(diǎn)A′在三角形的外部的情況．表示出y的解析式，再列方程求解即可．

解答：解：（1）連接AA′，交MN于D，則：由對(duì)稱(chēng)性知AA′⊥BC，AD=A′D
又∵M(jìn)N∥BC
∴AB=AC
∴AA′⊥BC（設(shè)與BC交于D′或延長(zhǎng)線交于D′）
又∵M(jìn)N∥BC
∴∠AMD=45°
∴AD=MD=

1

2

MN=

1

2

x
∴y=

1

4

x²
又∵要使A′在△ABC內(nèi)部
∴AA′＜AD′=

1

2

BC=4
∴AD＜

1

2

AA′=2
故：MN=x＜2AD=4
于是：y=

1

4

x²（x＜4）；

（2）要使y的值為△ABC面積的

1

3

，則點(diǎn)A′一定在三角形的外部．
又y=

1

4

x²-

1

2

×（x-4）×（2x-8）=-

3

4

x²+8x-16．
∴-

3

4

x²+8x-16=

1

3

×

1

2

×8×4
解得x₁=x₂=

16

3

∴存在直線MN使y的值為△ABC面積的

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要是運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式，能夠根據(jù)不同的情況得到不同的函數(shù)關(guān)系式．