Question

已知點(diǎn)A（2，-2）和點(diǎn)B（-4，n）在拋物線y=ax²（a≠0）上．
（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在y軸上，且滿足△ABP是以AB為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）平移拋物線y=ax²（a≠0），記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′．點(diǎn)M（2，0）在x軸上，當(dāng)拋物線向右平移到某個(gè)位置時(shí)，A′M+MB′最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先將A點(diǎn)代入求出a的值，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）分別根據(jù)①以A為直角頂點(diǎn)，則∠P₁AB=90°，②以B為直角頂點(diǎn)，則∠DBP₂=90°，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）首先求出直線BE的解析式進(jìn)而得出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再求出MQ的長(zhǎng)，進(jìn)而得出平移后解析式．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（2，-2）在拋物線y=ax²（a≠0）上．
∴a=-

1

2

，
拋物線解析式為：y=-

1

2

x2，
∴當(dāng)x=-4，則n=-8，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：B（-4，-8）；

（2）如圖1，記直線AB與x、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，
則直線AB：y=x-4，
C（4，0），D（0，-4），
Rt△COD中，
∵CO=DO，
∴∠ODA=45°，
①以A為直角頂點(diǎn)，則∠P₁AB=90°，
Rt△P₁AD中，∠P₁DA=45°，
則

AD

P1D

=cos45°=

2

2

，
∴P1D=

2

AD=4，
又∵D（0，-4），
∴P₁（0，0），
②以B為直角頂點(diǎn)，則∠DBP₂=90°，
Rt△DBP₂中，∠BDP₂=∠ODC=45°，
∴DP2=

2

BD=8，
∴P（0，-12），
∴綜上所述：P（0，0）或（0，-12）；

（3）如圖2，記點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為：E（2，2），
將B，E代入y=kx+h得：

2k+h=2 -4k+h=-8

，
解得：

k= 5 3 b=- 4 3

，
則直線BE的解析式為：y=

5

3

x-

4

3

令y=0，得x=

4

5

即BE與x軸的交點(diǎn)為：Q(

4

5

，0)，
MQ=|2-

4

5

|=

6

5

，
故拋物線y=-

1

2

x2向右平移

6

5

個(gè)單位時(shí)A'M+MB'最短，
此時(shí)，拋物線的解析式為：y=-

1

2

(x-

6

5

)2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用分類(lèi)討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．