Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且a：b=3：4，a+b=c+4．
（1）求a、b長(zhǎng)；
（2）若D是AB上的定點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O恰好切AC于點(diǎn)E，求⊙O的半徑r；
（3）若⊙O的圓心O是AB上的動(dòng)點(diǎn)，求⊙O的半徑r在怎樣的取值范圍內(nèi)，能使⊙O與AC相切，且與BC所在直線相交？

Answer 1

解：（1）設(shè)a=3k，b=4k．
根據(jù)勾股定理，得c=5k．
又a+b=c+4，
3k+4k=5k+4，
k=2．
則a=6，b=8．

（2）連接OE，得到OE⊥AC．
則OE∥BC．
∴，即，r=．

（3）設(shè)⊙O和AC，BC相切于點(diǎn)M，N．
連接OM，ON．
設(shè)此時(shí)圓的半徑是r，OB=x．
∵OM∥BC，
∴．
即．
∵ON∥AC，
∴．
即，
解得r=．
又BC=6，
所以＜r＜6．
分析：（1）根據(jù)a：b=3：4，設(shè)a=3k，b=4k．根據(jù)勾股定理，得c=5k；再根據(jù)a+b=c+4，求得k的值，從而求得a，b的長(zhǎng)；
（2）連接OE，得到OE⊥AC．根據(jù)OE∥BC，得到相似三角形，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解；
（3）此題首先可以求得圓和AC，BC相切時(shí)，確定r的最小值，再進(jìn)一步根據(jù)BC的長(zhǎng)確定r的最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．