Question

7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于點M，若AC=8，BM=4，則⊙O的半徑等于（　�。�

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 作直徑AH，連接HB、HC，作OF⊥AC于F，連接CM，延長CM交AB于點N，則CN⊥AB，推出∠HCA=∠HBA=90°，證出四邊形HBMC為平行四邊形，求出HC，根據(jù)垂徑定理求出AF，根據(jù)中位線得出OF，再根據(jù)勾股定理求出OA即可．

解答 解：作直徑AH，連接HB、HC，作OF⊥AC于F，連接CM，延長CM交AB于點N，則CN⊥AB，如圖所示：
∵AH為直徑，
∴∠HCA=∠HBA=90°，
∵CN⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CNA=∠BEA=90°
∴∠HBA=∠CNA，∠HCA=∠BEA，
∴HB∥CN，HC∥BE，
∴四邊形HBMC為平行四邊形，
∴BM=HC=4，
∵OF⊥CC，OF過O，
∴根據(jù)垂徑定理：CF=FA=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵AO=OH，
∴OF為△ACH的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$HC=2，
∴在Rt△AOF中，OA²=OF²+AF²=2²+4²=20，
∴AO=2$\sqrt{5}$；
故選：A．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂徑定理、垂心定理、三角形中位線定理等知識；通過作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．