Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，DA⊥AB，DO及DO的延長線與⊙O分別相交于點E、F，EB與CF相交于點G．
（1）求證：DA=DC；
（2）⊙O的半徑為3，DC=4，求CG的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵DC是⊙O切線，
∴OC⊥DC，
∵OA⊥DA，
∴∠DAO=∠DCO=90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中

∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL），
∴DA=DC．

（2）解：連接BF、CE、AC，
由切線長定理得：DC=DA=4，DO⊥AC，
∴DO平分AC，
在Rt△DAO中，AO=3，AD=4，由勾股定理得：DO=5，
∵由三角形面積公式得：DA•AO=DO•AM，
則AM=，
同理CM=AM=，
AC=．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：BC==．
∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圓周角定理）
∴△BGC∽△EGF，
∴===，
在Rt△OMC中，CM=，OC=3，由勾股定理得：OM=，
在Rt△EMC中，CM=，ME=OE-OM=3-=，由勾股定理得：CE=，
在Rt△CEF中，EF=6，CE=，由勾股定理得：CF=．
∵CF=CG+GF，=，
∴CG=CF=×=．
分析：（1）連接OC，∠DAO=∠DCO=90°，根據(jù)HL證Rt△DAO≌Rt△DCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）連接BF、CE、AC，由切線長定理求出DC=DA=4，求出DO=5，CM、AM的長，由勾股定理求出BC長，根據(jù)△BGC∽△EGF求出==，則CG=CF；利用勾股定理求出CF的長，則CG的長度可求得．
點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理和計算的能力，綜合性比較強，難度偏大．