Question

如圖，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過點(diǎn)A任作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求證：∠ABP=∠ABQ；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），且∠PBQ=60°，試求所有滿足條件的直線PQ的函數(shù)解析式．

Answer 1

（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)P，Q作y軸的垂線，垂足分別為C，D．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，t），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-t）．
設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為y=kx+t，并設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為（x_P，y_P），（x_Q，y_Q）．由，
得，
于是，即．
于是=．，
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/461619.png' />，所以．
因?yàn)椤螧CP=∠BDQ=90°，
所以△BCP∽△BDQ，
故∠ABP=∠ABQ；

（2）解：設(shè)PC=a，DQ=b，不妨設(shè)a≥b＞0，由（1）可知
∠ABP=∠ABQ=30°，BC=，BD=，
所以AC=，AD=．
因?yàn)镻C∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．
于是，即，
所以．
由（1）中，即，所以，
于是可求得．
將代入，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)（，）．
再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入y=kx+1，求得．
所以直線PQ的函數(shù)解析式為．
根據(jù)對(duì)稱性知，所求直線PQ的函數(shù)解析式為或．
分析：（1）利用拋物線的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法球函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（2）利用（1）中已知與結(jié)論，繼續(xù)由相似三角形，根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)解析式求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及對(duì)稱解決問題．