Question

點D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點．如圖所示，若以BD、BE為邊分別作正△BMD和正△BEN，連接MF、FN、MN． 易證△FMN是等邊三角形，因而∠MFN=60°；若以BD、BE為邊分別作正方形BPMD和正方形BQNE，連接MF、NF、MN，則∠MFN的度數(shù)是________；若以BD、BE為邊分別作正n邊形，設(shè)兩個正n邊形與點D、E相鄰的頂點分別是M、N（點M、N與點B是不同的點），連接MF、NF、MN得到△FMN，則∠MFN的度數(shù)是________．

Answer 1

90°    
分析：連接DF、EF，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，可以得出四邊形BDEF是平行四邊形，就可以得出△MDF≌△FEN，就有FN=FM，∠DMF=∠EFN，利用角的關(guān)系就可以得出∠MFN=90°，根據(jù)以BD、BE為邊分別作正三邊形和四邊形的結(jié)論可以得出
以BD、BE為邊分別作正n邊形的結(jié)論．
解答：①如圖，連接DF、EF，
∵D、E、F是△ABC各邊的中點，
∴DF、EF是△ABC的中位線，AD=BD=AB，BE=CE=BC，
∴DF∥BC，EF∥AB，DF=BC，EF=，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∴∠BDF=∠FEB，EF=BD，DF=BE，∠2+∠MFE=180°．
∵四邊形BPMD和四邊形BQNE是正方形，
∴DM=DB，BE=EN，∠MDB=∠BEN=90°．
∴∠MDB+∠BDF=∠BEN+∠BEF，
∴∠MDF=∠FEN．
在△MDF和△FEN中，
，
∴△MDF≌△FEN，
∴∠DMF=∠EFN．MF=NF．
∵∠1+∠DMF=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠EFN=90°，
∴∠MFN=90°．
②∵當(dāng)以BD、BE為邊分別作正三角形時，∠MFE=60°=180°-，
當(dāng)以BD、BE為邊分別作正四邊形時，∠MFE=90°=180°-，
∴當(dāng)以BD、BE為邊分別作正n邊形時，∠MFE=180°-．
故答案為：90°，180°-．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，平行四邊形的性質(zhì)的運用，解答本題時證明三角形全等是關(guān)鍵．