【題目】如圖,在△ABC中,已知ABBCCA4cm,ADBCD,點(diǎn)P、Q分別從BC兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s,設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s).

(1)x為何值時(shí),PQAC;

(2)設(shè)△PQD的面積為,當(dāng)0x2時(shí),求yx的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)0x2時(shí),求證:AD平分△PQD的面積;

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系,請(qǐng)寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過(guò)程).

【答案】(1);(2)y;(3)詳見(jiàn)解析;(4)當(dāng) x4時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相交.

【解析】試題分析:(1)若使PQAC,則根據(jù)路程=速度×?xí)r間表示出CPCQ的長(zhǎng),再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解;(2)當(dāng)0x2時(shí),PBD上,QAC上,過(guò)點(diǎn)QQNBCN,用x表示出PD、QN的長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式即可求得yx的函數(shù)關(guān)系式;(3)根據(jù)三角形的面積公式,要證明AD平分△PQD的面積,只需證明OPQ的中點(diǎn).根據(jù)題意可以證明BP=CN,則PD=DN,再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明;(4)根據(jù)題意可知不存在x的值,使得以PQ為直徑的圓與AC相離,由(1)可知當(dāng)x時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相切;當(dāng)點(diǎn)QAB上時(shí),82x,解得x,當(dāng)x時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相切;根據(jù)直線與圓相交的條件可知當(dāng) x4時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相交.

試題解析:

(1)當(dāng)QAB上時(shí),顯然PQ不垂直于AC,

當(dāng)QAC上時(shí),由題意得,BPx,CQ2x,PC4x;

ABBCCA4,∴∠C60°;

PQAC,則有∠QPC30°,

PC2CQ,∴4x2×2x

x;

(2)如圖,當(dāng)0x2時(shí),PBD上,QAC上,過(guò)點(diǎn)QQNBCN;

∵∠C60°,QC2x

QNQCx;

ABACADBC,

BDCDBC2

DP2x,

yPDQNx;

(3)當(dāng)0x2時(shí),在RtQNC中,QC2x,∠C60°,NCx

BPNC,

BDCD,

DPDN;

ADBCQNBC,

ADQN,

OPOQ,

AD平分△PQD的面積;

(4)顯然,不存在x的值,使得以PQ為直徑的圓與AC相離,

(1)可知,當(dāng)x時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相切;當(dāng)點(diǎn)QAB上時(shí),82x,解得x,

故當(dāng)x時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相切,

當(dāng) x4時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相交.

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