Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A，經(jīng)過點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)（2，3），與x軸交于C，D兩點(diǎn)，（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且OD=OB．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）連接AB，BD，DA，試判斷△ABD的形狀；
（3）點(diǎn)P是BD上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPD的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△BPD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（0，3）和點(diǎn)（2，3）的縱坐標(biāo)相同，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，OB=3．

∵OD=OB，

∴OD=3．

∵拋物線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），

∴D（3，0）．

將點(diǎn)B（0，3）、（2，3）、（3，0）代入拋物線的解析式得： ，

解得：a=﹣1，b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）．

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AB2=（1﹣0）2+（4﹣3）2=2，AD2=（3﹣1）2+（4﹣0）2=20，BD2=（3﹣0）2+（0﹣3）2=18，

∴AB2+BD2=AD2．

∴△ABD為直角三角形

（3）

解：如圖所示：連結(jié)OP．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3）．

△DBP的面積=△OBP的面積+△ODP的面積﹣△BOD的面積

= ×3×x+ ×3×（﹣x2+2x+3）﹣ ×3×3

=﹣ x2+ x

=﹣ （x﹣ ）2+ ．

∴當(dāng)x= 時(shí)，△DBP的面積最大，最大值為 ．

將x= 代入拋物線的解析式得y= ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）

【解析】（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB=3，OD=3，故此可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先由拋物線的解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得AB、AD、BD的長(zhǎng)，最后利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可（3）如圖所示：連結(jié)OP．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3）．依據(jù)△DBP的面積=△OBP的面積+△ODP的面積﹣△BOD的面積，列出△DBP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．