Question

等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點(diǎn)P；

（1）如AE=CF=2，

①試判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；

②試求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

 

考點(diǎn)： 相似形綜合題． 

分析： （1）①證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；

②利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．

（2）當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案．點(diǎn)F靠近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)B向AC做的垂線段的長(zhǎng)度，然后綜合上述兩種情況可得到圖3和圖4兩種情況．

解答： （1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，

又∵AE=CF，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS）．

∴AF=BE．

②△ABE≌△CAF（SAS），

∴∠ABE=∠FAC．

∴∠APE=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠FAC=60°．

∴∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，

∴△APE∽△ACF，

∴，即 ．

∴AP•AF=12．

（2）①如圖1所示：當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段�。�

由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，

∴∠AOB=120°，

又∵AB=6，

∴OA=2．

∴點(diǎn)P的路徑是l===．

②如圖2所示，當(dāng)AE=BF時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB垂足為H．

點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)C向AB作的垂線段HC的長(zhǎng)度．

∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，CH⊥AB．

∴BH=3．

∴點(diǎn)P的路徑CH===3．

③如圖3所示：

．

∵OA=0B，CA=CB，

∴OC垂直平分AB．

又∵∠AOB=120°，

∴∠AOG=60°．

∴OD=ADtan30°=3×=．OA=2OD=2．

∴DG=OG﹣OD=2=．

∴GC=3=2．

所以點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的軌跡=+GC=+2．

④如圖4所示：

由③可知：DG=，==．

所以點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的軌跡==+．

綜上所述，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的軌跡的長(zhǎng)度為或3或+2或．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．