Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A，B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸上，OA=OB=4，C在線段OA上，AC=3，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于E，直線AE交y軸于D．
（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△POB的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍．
（3）在（2）問(wèn)的條件下，當(dāng)t=1，PB=5時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△PBQ為以PB為腰的等腰三角形？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后根據(jù)AD與AC垂直，即可求得直線AC的一次項(xiàng)系數(shù)，即可求得AD的解析式，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)；
（2）分0≤t＜4和t＞4兩種情況，利用三角形的面積公式即可求解；
（3）分B是頂角的頂點(diǎn)和P是頂角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)等腰三角形的定義即可求解．

解答：解：（1）∵OA=4，AC=3，
∴OC=OA-AC=4-3=1，則C的坐標(biāo)是（1，0），
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

b=4 k+b=0

，
解得：

b=4 k=-4

，
則直線BC的解析式是y=-4x+4．
設(shè)直線AD的解析式是：y=

1

4

x+c，把A（4，0）代入得：1+c=0，
解得：c=-1，
則直線AD的解析式是y=

1

4

x-1．
令x=0，解得：y=-1，
則D的坐標(biāo)是（0，-1）；
（2）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，OP=4-t，則y=

1

2

OP•OB=

1

2

×4×（4-t）=8-2t；
當(dāng)t＞4時(shí)，OP=t-4，則y=

1

2

OP•OB=

1

2

×4×（t-4）=2t-8；
（3）當(dāng)B是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)Q在B的上邊時(shí)，BQ=BP=5，則OQ=5+4=9，則Q的坐標(biāo)是（0，9），當(dāng)Q在B的下方時(shí)，OQ=5-4=1，
則Q的坐標(biāo)是（0，-1）；
當(dāng)P是頂角頂點(diǎn)時(shí)，則Q和B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則Q的坐標(biāo)是（0，-4）．
總之，Q的坐標(biāo)是：（0，9）或（0，-1）或（0，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及直線垂直的條件，正確進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．